ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №16 — логарифм с переменным основанием

Разбор — 2 балла

Найдём ОДЗ. Аргументы логарифмов положительны, а знаменатель не равен нулю:

$$\{\begin{array}{l}x+1>0,\\ 5-x>0,\\ x^2>0,x^4>0,\\ {\log }_5^2{x}^2+3{\log }_5{x}^4+9\ne 0.\end{array}$$

Условия $x^2>0$ и $x^4>0$ означают $x\ne 0$. Разберёмся со знаменателем. При $x\ne 0$ число $x^2$ положительно, и по свойству логарифма степени

$${\log }_5{x}^4={\log }_5{\left(x^2\right)}^2=2{\log }_5{x}^2.$$

Заметим, что писать ${\log }_5{x}^4=4{\log }_{5}x$ нельзя: при $x<0$ выражение ${\log }_{5}x$ не определено. Подставим:

$${\log }_5^2{x}^2+6{\log }_5{x}^2+9={\left({\log }_5{x}^2+3\right)}^2.$$

Это полный квадрат, он равен нулю только при ${\log }_5{x}^2=-3$, то есть

$$x^2=5^{-3}=\frac{1}{125}\iff x=\pm \frac{1}{\sqrt{125}}=\pm \frac{1}{5\sqrt{5}}.$$

Обе точки лежат внутри промежутка $(-1;5)$ (так как $\frac{1}{5\sqrt{5}}<1$). Итак, ОДЗ:

$$\{\begin{array}{l}-1<x<5,\\ x\ne 0,\\ x\ne \pm \frac{1}{5\sqrt{5}}.\end{array}$$

На ОДЗ знаменатель — квадрат ненулевого числа, значит, он строго положителен. Дробь с положительным знаменателем неположительна тогда и только тогда, когда неположителен числитель:

$${\log }_5(x+1)-{\log }_5(5-x)⩽0\iff {\log }_5(x+1)⩽{\log }_5(5-x).$$

Основание $5>1$, логарифм возрастает, поэтому знак неравенства между аргументами сохраняется (это и есть метод рационализации: знак разности совпадает со знаком $(5-1)((x+1)-(5-x))$):

$$x+1⩽5-x\iff 2x⩽4\iff x⩽2.$$

Пересечём с ОДЗ: от промежутка $(-1;5)$ остаётся $(-1;2]$ без точек $0$ и $\pm \frac{1}{5\sqrt{5}}$.

Ответ: $\left(-1;-\frac{1}{5\sqrt{5}}\right)\cup \left(-\frac{1}{5\sqrt{5}};0\right)\cup \left(0;\frac{1}{5\sqrt{5}}\right)\cup \left(\frac{1}{5\sqrt{5}};2\right]$.