ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №16 — логарифм с переменным основанием

Разбор — 2 балла

Решим каждое неравенство системы отдельно, а затем пересечём множества их решений.

Первое неравенство. Найдём ОДЗ: основания логарифмов положительны и не равны $1$, аргументы положительны:

$$\{\begin{array}{l}4-x>0,4-x\ne 1,\\ x+4>0,\\ x+5>0,x+5\ne 1,\\ 6-x>0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x<4,x\ne 3,\\ x>-4,\\ x>-5,x\ne -4,\\ x<6.\end{array}$$

Пересекая эти условия, получаем ОДЗ $x\in (-4;3)\cup (3;4)$.

Воспользуемся методом рационализации. Логарифм ${\log }_{a}b$ положителен, когда $a$ и $b$ лежат по одну сторону от единицы, и отрицателен, когда по разные. Поэтому на ОДЗ знак ${\log }_{a}b$ совпадает со знаком произведения $(a-1)(b-1)$. Заменим каждый логарифм таким произведением:

$${\log }_{4-x}(x+4)\to (4-x-1)(x+4-1)=(3-x)(x+3),$$

$${\log }_{x+5}(6-x)\to (x+5-1)(6-x-1)=(x+4)(5-x).$$

На ОДЗ первое неравенство равносильно

$$(3-x)(x+3)(x+4)(5-x)⩽0.$$

Заметим, что $(3-x)(5-x)=(x-3)(x-5)$ — смена знака в двух скобках сразу ничего не меняет. Получаем

$$(x+4)(x+3)(x-3)(x-5)⩽0.$$

Решим методом интервалов: нули $-4$, $-3$, $3$, $5$, все закрашенные. Правее $5$ все множители положительны, дальше знаки чередуются.

Получаем $x\in [-4;-3]\cup [3;5]$. Пересечём с ОДЗ:

Решение первого неравенства: $x\in (-4;-3]\cup (3;4)$.

Второе неравенство. Приведём обе степени к основанию $5$: $25=5^2$, $0,2=\frac{1}{5}=5^{-1}$. Тогда

$$25^{x^2-2x+10}=5^{2x^2-4x+20},0,2^{2x^2-4x-80}=5^{-2x^2+4x+80}.$$

Перенесём вторую степень вправо:

$$5^{2x^2-4x+20}⩽5^{-2x^2+4x+80}.$$

Основание $5>1$, показательная функция возрастает, поэтому сравниваем показатели с тем же знаком неравенства:

$$2x^2-4x+20⩽-2x^2+4x+80\iff 4x^2-8x-60⩽0\iff x^2-2x-15⩽0.$$

По теореме Виета корни $x=5$ и $x=-3$, то есть $(x-5)(x+3)⩽0$.

Решение второго неравенства: $x\in [-3;5]$.

Пересечение. Из множества $(-4;-3]$ в отрезок $[-3;5]$ попадает только точка $-3$, а промежуток $(3;4)$ лежит в нём целиком.

Проверим точку $x=-3$: в первом неравенстве ${\log }_{7}1\cdot {\log }_{2}9=0⩽0$, во втором $25^{25}-0,2^{-50}=5^{50}-5^{50}=0⩽0$. Оба верны.

Ответ: $\{-3\}\cup (3;4)$.