ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №16 — показательные неравенства

Разбор — 2 балла

Выразим все степени в числителе через $3^x$:

$$27^x={\left(3^x\right)}^3,9^{x+1}=9\cdot {\left(3^x\right)}^2,3^{x+3}=27\cdot 3^x.$$

Тогда числитель равен $9{\left(3^x\right)}^3-27{\left(3^x\right)}^2+27\cdot 3^x-9$. Вынесем множитель $9$:

$$9({\left(3^x\right)}^3-3{\left(3^x\right)}^2+3\cdot 3^x-1)=9{\left(3^x-1\right)}^3.$$

Здесь мы узнали формулу куба разности $(a-b{)}^3=a^3-3a^{2}b+3a{b}^2-b^3$ при $a=3^x$, $b=1$.

Знаменатель вынесем за скобку $\frac{1}{2}$ и узнаем квадрат разности $(a-b{)}^2=a^2-2ab+b^2$ при $a=10x$, $b=9$ (удвоенное произведение $2\cdot 10x\cdot 9=180x$):

$$50x^2-90x+40,5=\frac{1}{2}\left(100x^2-180x+81\right)=\frac{1}{2}(10x-9{)}^2.$$

Знаменатель не равен нулю, поэтому $x\ne \frac{9}{10}$. Перепишем неравенство (делим $9$ на $\frac{1}{2}$, получаем $18$):

$$\frac{18{\left(3^x-1\right)}^3}{(10x-9{)}^2}⩾0\iff \frac{{\left(3^x-1\right)}^3}{(10x-9{)}^2}⩾0.$$

Применим метод рационализации. Запишем $3^x-1=3^x-3^0$. Основание $3>1$, показательная функция возрастает, поэтому разность $3^x-3^0$ имеет тот же знак, что и разность показателей $x-0$ (в общем виде $a^f-a^g$ заменяем на $(a-1)(f-g)$). Куб сохраняет знак числа. Значит, неравенство равносильно

$$\frac{x^3}{(10x-9{)}^2}⩾0.$$

Решим его методом интервалов. Нуль числителя $x=0$ закрашиваем (неравенство нестрогое), нуль знаменателя $x=\frac{9}{10}$ выкалываем. Множитель $(10x-9{)}^2$ стоит в чётной степени, поэтому при переходе через $\frac{9}{10}$ знак не меняется; при переходе через $0$ меняется, так как $x^3$ — нечётная степень.

Подходят промежутки со знаком «плюс» и точка $x=0$.

Ответ: $\left[0;\frac{9}{10}\right)\cup \left(\frac{9}{10};+\infty \right)$.