ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №16 — логарифмические неравенства

Разбор — 2 балла

ОДЗ: аргумент логарифма положителен, $x^2-9>0$, то есть $(x-3)(x+3)>0$.

Значит, ОДЗ: $x\in (-\infty ;-3)\cup (3;+\infty )$.

Запись ${\log }_2^2(x^2-9)$ означает квадрат логарифма: $({\log }_2(x^2-9){)}^2$. Сделаем замену $t={\log }_2(x^2-9)$. Неравенство становится квадратным:

$$t^2-9t+20⩾0.$$

Корни уравнения $t^2-9t+20=0$ по теореме Виета — $t=4$ и $t=5$ (сумма $9$, произведение $20$). Значит, $(t-4)(t-5)⩾0$.

Получаем $t⩽4$ или $t⩾5$. Сделаем обратную замену — получим совокупность:

$$[\begin{array}{l}{\log }_2(x^2-9)⩽4,\\ {\log }_2(x^2-9)⩾5.\end{array}$$

Запишем числа в виде логарифмов по основанию $2$: $4={\log }_{2}16$, $5={\log }_{2}32$. Основание $2>1$, логарифм возрастает, поэтому при переходе к аргументам знак неравенства сохраняется. При этом обязательно помним, что аргумент положителен.

Первое неравенство:

$${\log }_2(x^2-9)⩽{\log }_{2}16\iff 0<x^2-9⩽16\iff 9<x^2⩽25.$$

Условие $x^2⩽25$ даёт $-5⩽x⩽5$, а $x^2>9$ — это ОДЗ. Пересекая, получаем $[-5;-3)\cup (3;5]$.

Второе неравенство:

$${\log }_2(x^2-9)⩾{\log }_{2}32\iff x^2-9⩾32\iff x^2⩾41.$$

Здесь $x^2-9⩾32>0$, так что ОДЗ выполняется автоматически. Неравенство $(x-\sqrt{41})(x+\sqrt{41})⩾0$ решим методом интервалов.

Объединим решения. Так как $41>25$, то $\sqrt{41}>5$, и промежутки расположены так: $-\sqrt{41}<-5<-3<3<5<\sqrt{41}$.

Ответ: $(-\infty ;-\sqrt{41}]\cup [-5;-3)\cup (3;5]\cup [\sqrt{41};+\infty )$.