ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №16 — неравенства с модулем

Разбор — 2 балла

Знаменатель не может быть равен нулю, поэтому $x\ne 3$.

Приведём левую часть к общему знаменателю $|x-3|$. Для этого второе слагаемое домножим и разделим на $|x-3|$:

$$\frac{x^3-27-x|x-3{|}^2}{|x-3|}⩾0.$$

Квадрат модуля равен квадрату самого выражения: $|a{|}^2=a^2$. Поэтому $|x-3{|}^2=(x-3{)}^2$, и модуль остаётся только в знаменателе:

$$\frac{x^3-27-x(x-3{)}^2}{|x-3|}⩾0.$$

При $x\ne 3$ знаменатель $|x-3|$ строго положителен. Умножение неравенства на положительное число сохраняет знак неравенства, поэтому получаем равносильную систему

$$\{\begin{array}{l}{x}^3-27-x(x-3{)}^2⩾0,\\ x\ne 3.\end{array}$$

Разложим левую часть первого неравенства на множители. По формуле разности кубов $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$:

$$x^3-27=(x-3)(x^2+3x+9).$$

Теперь вынесем общий множитель $x-3$:

$$(x-3)(x^2+3x+9)-x(x-3{)}^2=(x-3)(x^2+3x+9-x(x-3)).$$

Во второй скобке $x^2+3x+9-x^2+3x=6x+9=3(2x+3)$. Неравенство принимает вид

$$3(x-3)(2x+3)⩾0,x\ne 3.$$

Решим его методом интервалов. Нули множителей: $x=-\frac{3}{2}$ и $x=3$. Неравенство нестрогое, поэтому $-\frac{3}{2}$ закрашиваем, а точку $3$ выкалываем из-за условия $x\ne 3$. Правее $3$ оба множителя положительны, дальше знаки чередуются.

Ответ: $\left(-\infty ;-\frac{3}{2}\right]\cup (3;+\infty )$.