ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №16 — неравенства с модулем

Разбор — 2 балла

Знаменатели не должны обращаться в ноль, поэтому $x\ne 4$ и $x\ne -2$.

Перенесём единицу влево и приведём всё к общему знаменателю $|x-4|\cdot |x+2|$:

$$\frac{2|x+2|-8|x-4|-|x-4|\cdot |x+2|}{|x-4|\cdot |x+2|}⩾0.$$

При $x\ne -2$ и $x\ne 4$ знаменатель — произведение двух положительных модулей, то есть он положителен. Дробь с положительным знаменателем неотрицательна тогда и только тогда, когда неотрицателен числитель. Неравенство равносильно системе

$$\{\begin{array}{l}2|x+2|-8|x-4|-|x-4|\cdot |x+2|⩾0,\\ x\ne -2,x\ne 4.\end{array}$$

Подмодульные выражения обращаются в ноль в точках $-2$ и $4$. Эти точки делят прямую на три промежутка, на каждом из которых оба модуля раскрываются одним определённым способом.

Случай 1: $x<-2$. Здесь $x+2<0$ и $x-4<0$, поэтому $|x+2|=-x-2$ и $|x-4|=4-x$. Числитель:

$$2(-x-2)-8(4-x)-(4-x)(-x-2)=-2x-4-32+8x-(x^2-2x-8)=-x^2+8x-28.$$

Получаем $-x^2+8x-28⩾0$, то есть $x^2-8x+28⩽0$. Выделим полный квадрат: $x^2-8x+28=(x-4{)}^2+12>0$ при любом $x$. Значит, в этом случае решений нет.

Случай 2: $-2<x<4$. Здесь $x+2>0$, $x-4<0$, поэтому $|x+2|=x+2$ и $|x-4|=4-x$. Числитель:

$$2(x+2)-8(4-x)-(4-x)(x+2)=2x+4-32+8x-(-x^2+2x+8)=x^2+8x-36.$$

Решим $x^2+8x-36⩾0$. Дискриминант $\frac{D}{4}=16+36=52$, корни $x=-4\pm \sqrt{52}=-4\pm 2\sqrt{13}$.

Сравним корни с границами промежутка. Число $-4-2\sqrt{13}$ меньше $-2$. Для второго корня: $-4+2\sqrt{13}>-2$, так как $\sqrt{13}>1$, и $-4+2\sqrt{13}<4$, так как $\sqrt{13}<4$ ($13<16$). Значит, на промежутке $(-2;4)$ подходят $-4+2\sqrt{13}⩽x<4$.

Случай 3: $x>4$. Здесь оба подмодульных выражения положительны: $|x+2|=x+2$, $|x-4|=x-4$. Числитель:

$$2(x+2)-8(x-4)-(x-4)(x+2)=2x+4-8x+32-(x^2-2x-8)=-x^2-4x+44.$$

Получаем $-x^2-4x+44⩾0$, то есть $x^2+4x-44⩽0$. Дискриминант $\frac{D}{4}=4+44=48$, корни $x=-2\pm \sqrt{48}=-2\pm 4\sqrt{3}$.

Сравним $-2+4\sqrt{3}$ с числом $4$: $-2+4\sqrt{3}>4\iff \sqrt{3}>1,5\iff 3>2,25$ — верно. Меньший корень, очевидно, меньше $4$. Значит, на промежутке $x>4$ подходят $4<x⩽-2+4\sqrt{3}$.

Объединим решения трёх случаев:

Ответ: $[-4+2\sqrt{13};4)\cup (4;-2+4\sqrt{3}]$.