ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №16 — логарифмические неравенства

Разбор — 2 балла

Найдём ОДЗ. Выражения под знаком логарифма должны быть положительными:

$$\{\begin{array}{l}{x}^2+x-2>0,\\ \frac{(x-1{)}^9}{x+2}>0.\end{array}$$

Разложим квадратный трёхчлен на множители. Корни уравнения $x^2+x-2=0$ по теореме Виета — $x=1$ и $x=-2$ (их сумма $-1$, произведение $-2$), поэтому

$$x^2+x-2=(x-1)(x+2).$$

Первое условие ОДЗ: $(x-1)(x+2)>0$. Решим его методом интервалов: нули $-2$ и $1$, неравенство строгое, поэтому точки выколотые.

Во втором условии нечётная степень $(x-1{)}^9$ имеет тот же знак, что и $x-1$. Значит, дробь положительна ровно тогда, когда $\frac{x-1}{x+2}>0$, а знак частного совпадает со знаком произведения $(x-1)(x+2)$. Получаем то же самое множество. Итак, ОДЗ:

$$x\in (-\infty ;-2)\cup (1;+\infty ).$$

Перенесём логарифм из правой части влево:

$$9{\log }_7((x-1)(x+2))-{\log }_7\frac{(x-1{)}^9}{x+2}⩽10.$$

На ОДЗ $(x-1)(x+2)>0$, поэтому по свойству $k{\log }_{a}b={\log }_a{b}^k$ (при $b>0$) имеем

$$9{\log }_7((x-1)(x+2))={\log }_7((x-1{)}^9(x+2{)}^9).$$

Разность логарифмов положительных чисел с одинаковым основанием равна логарифму частного. Деление на дробь $\frac{(x-1{)}^9}{x+2}$ заменим умножением на перевёрнутую дробь:

$${\log }_7\left((x-1{)}^9(x+2{)}^9\cdot \frac{x+2}{(x-1{)}^9}\right)⩽10.$$

На ОДЗ $x\ne 1$, поэтому множитель $(x-1{)}^9$ сокращается, а $(x+2{)}^9\cdot (x+2)=(x+2{)}^{10}$:

$${\log }_7(x+2{)}^{10}⩽10.$$

Заметим: выносить показатель в виде $10{\log }_7(x+2)$ здесь нельзя — на части ОДЗ $x+2<0$, и такое выражение не определено, мы потеряли бы решения. Поэтому оставляем степень под логарифмом.

Запишем $10={\log }_7{7}^{10}$. Основание $7>1$, логарифм — возрастающая функция, поэтому при переходе к аргументам знак неравенства сохраняется. На ОДЗ $x\ne -2$, так что $(x+2{)}^{10}>0$ и обе части определены:

$$(x+2{)}^{10}⩽7^{10}.$$

Так как $(x+2{)}^{10}=|x+2{|}^{10}$, а функция $t^{10}$ возрастает при $t⩾0$, неравенство равносильно

$$|x+2|⩽7\iff -7⩽x+2⩽7\iff -9⩽x⩽5.$$

Пересечём полученный отрезок с ОДЗ: из $[-9;5]$ убираем промежуток $[-2;1]$.

Ответ: $[-9;-2)\cup (1;5]$.