ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №16 — показательные неравенства

Разбор — 2 балла

Неравенство определено при всех $x$, кроме тех, при которых знаменатель равен нулю. Упростим числитель и знаменатель.

Числитель. По свойствам степени $27^x={\left(3^3\right)}^x={\left(3^x\right)}^3$, $9^{x+1}=9\cdot 9^x=9\cdot {\left(3^x\right)}^2$, $3^{x+2}=9\cdot 3^x$. Сделаем замену $t=3^x$, где $t>0$:

$$3t^3-9t^2+9t-3=3\left(t^3-3t^2+3t-1\right).$$

В скобках стоит куб разности: по формуле $(a-b{)}^3=a^3-3a^{2}b+3a{b}^2-b^3$ имеем $t^3-3t^2+3t-1=(t-1{)}^3$. Значит, числитель равен $3{\left(3^x-1\right)}^3$.

Знаменатель. Вынесем $0,5$ и применим формулу квадрата разности:

$$50x^2-30x+4,5=0,5\left(100x^2-60x+9\right)=0,5\left((10x{)}^2-2\cdot 10x\cdot 3+3^2\right)=0,5(10x-3{)}^2.$$

Знаменатель равен нулю при $x=0,3$ и положителен при остальных $x$. ОДЗ: $x\ne 0,3$.

Неравенство принимает вид

$$\frac{3{\left(3^x-1\right)}^3}{0,5(10x-3{)}^2}⩾0.$$

Умножим обе части на положительное число $\frac{0,5}{3}$, знак сохраняется:

$$\frac{{\left(3^x-1\right)}^3}{(10x-3{)}^2}⩾0.$$

Применим метод рационализации. Запишем $3^x-1=3^x-3^0$. Основание $3>1$, функция $y=3^t$ возрастает, поэтому эта разность имеет тот же знак, что и $x-0=x$, и обращается в ноль одновременно с ней. Куб не меняет знак числа, поэтому ${\left(3^x-1\right)}^3$ тоже имеет знак $x$, и его можно заменить на $x$:

$$\frac{x}{(10x-3{)}^2}⩾0.$$

Решим методом интервалов. Нуль числителя $x=0$ закрашиваем (неравенство нестрогое), нуль знаменателя $x=\frac{3}{10}$ выкалываем. Множитель $(10x-3{)}^2$ стоит в чётной степени, поэтому при переходе через $x=\frac{3}{10}$ знак не меняется. Левее нуля дробь отрицательна, правее — положительна.

Получаем $x⩾0$, $x\ne 0,3$.

$$x\in [0;0,3)\cup (0,3;+\infty ).$$

Ответ: $[0;0,3)\cup (0,3;+\infty )$.