ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №16 — рациональные неравенства

Разбор — 2 балла

Найдём ОДЗ: знаменатели не равны нулю, то есть $x\ne 6$ и $x\ne 2$.

Умножать обе части на знаменатели нельзя: их знаки заранее неизвестны. Поэтому перенесём всё в левую часть. Заметим, что $2-x=-(x-2)$, поэтому $\frac{1}{2-x}=-\frac{1}{x-2}$:

$$\frac{5-x}{x-6}+\frac{1}{x-2}⩽0.$$

Приведём дроби к общему знаменателю $(x-6)(x-2)$:

$$\frac{(5-x)(x-2)+(x-6)}{(x-6)(x-2)}⩽0.$$

Раскроем скобки в числителе:

$$(5-x)(x-2)+x-6=5x-10-x^2+2x+x-6=-x^2+8x-16.$$

По формуле квадрата разности $-x^2+8x-16=-\left(x^2-8x+16\right)=-(x-4{)}^2$. Неравенство принимает вид

$$\frac{-(x-4{)}^2}{(x-6)(x-2)}⩽0.$$

Умножим обе части на $-1$, знак неравенства меняется на противоположный:

$$\frac{(x-4{)}^2}{(x-2)(x-6)}⩾0.$$

Решим методом интервалов. Нуль числителя $x=4$ закрашиваем (неравенство нестрогое), нули знаменателя $x=2$ и $x=6$ выкалываем. При больших $x$ дробь положительна. Множитель $(x-4{)}^2$ стоит в чётной степени, поэтому при переходе через $x=4$ знак не меняется, а через $x=2$ и $x=6$ — меняется.

Точка $x=4$ — решение: в ней дробь равна нулю.

$$x\in (-\infty ;2)\cup \{4\}\cup (6;+\infty ).$$

Ответ: $(-\infty ;2)\cup \{4\}\cup (6;+\infty )$.