Решите неравенство 7 log₁₂(x²-13x+42)≤8+log₁₂((x-7)⁷)/(x-6) — 16 задание ЕГЭ профиль

№16 Логарифмические неравенства средняя развёрнутое

Решите неравенство $7 lo g_{12} (x^{2} - 13 x + 42) \leq 8 + lo g_{12} \frac{( x - 7 ) ^{7}}{x - 6}$ .

Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором

Разбор — 2 балла

Найдём ОДЗ: аргументы обоих логарифмов положительны.

$⎩ ⎨ ⎧ x^{2} - 13 x + 42 > 0, \frac{( x - 7 ) ^{7}}{x - 6} > 0.$

Разложим трёхчлен на множители: по теореме Виета сумма корней равна $13$ , произведение равно $42$ , поэтому корни $6$ и $7$ :

$x^{2} - 13 x + 42 = (x - 6) (x - 7) .$

Множитель $(x - 7)^{7}$ стоит в нечётной степени, поэтому имеет тот же знак, что и $x - 7$ . Значит, второе условие равносильно неравенству $\frac{x - 7}{x - 6} > 0$ . Частное и произведение двух множителей имеют одинаковый знак, поэтому оба условия ОДЗ задают одно и то же множество — решения неравенства $(x - 6) (x - 7) > 0$ :

Метод интервалов

ОДЗ: $x \in (- \infty; 6) \cup (7; + \infty)$ .

Перенесём логарифм из правой части в левую:

$7 lo g_{12} ((x - 6) (x - 7)) - lo g_{12} \frac{( x - 7 ) ^{7}}{x - 6} ⩽ 8.$

На ОДЗ $(x - 6) (x - 7) > 0$ , поэтому по свойству $k lo g_{a} b = lo g_{a} b^{k}$ (при $b > 0$ ):

$7 lo g_{12} ((x - 6) (x - 7)) = lo g_{12} ((x - 6)^{7} (x - 7)^{7}) .$

По свойству разности логарифмов $lo g_{a} b - lo g_{a} c = lo g_{a} \frac{b}{c}$ (при $b > 0$ , $c > 0$ ) левая часть равна

$lo g_{12} ((x - 6)^{7} (x - 7)^{7} \cdot \frac{x - 6}{( x - 7 ) ^{7}}) = lo g_{12} (x - 6)^{8} .$

Число $8$ запишем как $lo g_{12} 1 2^{8}$ . Неравенство принимает вид

$lo g_{12} (x - 6)^{8} ⩽ lo g_{12} 1 2^{8} .$

Основание $12 > 1$ , функция $y = lo g_{12} t$ возрастает, поэтому на ОДЗ (где $(x - 6)^{8} > 0$ ) неравенство равносильно неравенству аргументов:

$(x - 6)^{8} ⩽ 1 2^{8} \Leftrightarrow (x - 6)^{8} - 1 2^{8} ⩽ 0.$

Дважды применим формулу разности квадратов $a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b)$ :

$(x - 6)^{8} - 1 2^{8} = ((x - 6)^{4} - 1 2^{4}) ((x - 6)^{4} + 1 2^{4}) =$

$= ((x - 6)^{2} - 1 2^{2}) ((x - 6)^{2} + 1 2^{2}) ((x - 6)^{4} + 1 2^{4}) .$

Множители $(x - 6)^{2} + 1 2^{2} ⩾ 1 2^{2} > 0$ и $(x - 6)^{4} + 1 2^{4} ⩾ 1 2^{4} > 0$ положительны при любом $x$ , поэтому на них можно разделить, знак неравенства сохранится:

$(x - 6)^{2} - 1 2^{2} ⩽ 0.$

Ещё раз применим формулу разности квадратов:

$(x - 6 - 12) (x - 6 + 12) ⩽ 0 \Leftrightarrow (x - 18) (x + 6) ⩽ 0.$

Решим методом интервалов: обе точки закрашиваем, между корнями произведение отрицательно.

Метод интервалов

Получаем $- 6 ⩽ x ⩽ 18$ .

Пересечём с ОДЗ $(- \infty; 6) \cup (7; + \infty)$ : из отрезка $[- 6; 18]$ нужно убрать промежуток $[6; 7]$ .

Ответ на числовой прямой

$x \in [- 6; 6) \cup (7; 18] .$

Ответ: $[- 6; 6) \cup (7; 18]$ .

ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №16 — логарифмические неравенства

Сообщить об ошибке

Ещё задания №16