ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №16 — логарифмические неравенства

Разбор — 2 балла

Найдём ОДЗ. Логарифм определён при $x>0$. Знаменатель не должен обращаться в ноль: ${\lg }^{2}x\ne 1$, то есть $\lg x\ne \pm 1$, откуда $x\ne 10$ и $x\ne 0,1$.

Сделаем замену $t=\lg x$, при этом $t\ne \pm 1$:

$$\frac{5t^2-1}{t^2-1}⩾1.$$

Умножать на знаменатель нельзя: его знак заранее неизвестен. Поэтому перенесём $1$ в левую часть и приведём к общему знаменателю:

$$\frac{5t^2-1-\left(t^2-1\right)}{t^2-1}⩾0\iff \frac{4t^2}{(t-1)(t+1)}⩾0.$$

Здесь знаменатель разложен по формуле разности квадратов.

Решим методом интервалов. Нуль числителя $t=0$ закрашиваем (неравенство нестрогое), нули знаменателя $t=\pm 1$ выкалываем. При $t>1$ дробь положительна. Множитель $t^2$ стоит в чётной степени, поэтому при переходе через $t=0$ знак не меняется, а через $t=\pm 1$ — меняется.

Точка $t=0$ — решение: в ней дробь равна нулю. Получаем совокупность:

$$[\begin{array}{l}t<-1,\\ t=0,\\ t>1.\end{array}$$

Сделаем обратную замену. Запишем $-1=\lg 0,1$, $0=\lg 1$, $1=\lg 10$. Основание $10>1$, функция $y=\lg x$ возрастает, поэтому неравенство логарифмов равносильно такому же неравенству аргументов (с учётом условия $x>0$):

$$[\begin{array}{l}\lg x<\lg 0,1,\\ \lg x=\lg 1,\\ \lg x>\lg 10\end{array}\iff [\begin{array}{l}0<x<0,1,\\ x=1,\\ x>10.\end{array}$$

Условия ОДЗ учтены: $x>0$ входит в первую строку, а точки $x=0,1$ и $x=10$ в ответ не попали.

$$x\in (0;0,1)\cup \{1\}\cup (10;+\infty ).$$

Ответ: $(0;0,1)\cup \{1\}\cup (10;+\infty )$.