ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №16 — логарифмические неравенства

Разбор — 2 балла

Найдём ОДЗ: аргументы обоих логарифмов положительны.

$$\{\begin{array}{l}x+3>0,\\ x^2+6x+9>0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x+3>0,\\ (x+3{)}^2>0.\end{array}$$

Второе условие означает $x\ne -3$ и следует из первого. ОДЗ: $x>-3$.

Чтобы применить метод рационализации, приведём логарифмы к одному основанию. Так как $343=7^3$, по свойству ${\log }_{a^k}b=\frac{1}{k}{\log }_{a}b$:

$${\log }_{343}(x+3)={\log }_{7^3}(x+3)=\frac{1}{3}{\log }_7(x+3).$$

В правой части $x^2+6x+9=(x+3{)}^2$ по формуле квадрата суммы. По свойству логарифма степени с чётным показателем ${\log }_a{b}^2=2{\log }_a|b|$, а на ОДЗ $x+3>0$, поэтому модуль можно снять:

$${\log }_7(x+3{)}^2=2{\log }_7|x+3|=2{\log }_7(x+3).$$

Неравенство принимает вид

$$\frac{x^2}{3}{\log }_7(x+3)⩽2{\log }_7(x+3).$$

Перенесём всё в левую часть и вынесем общий множитель ${\log }_7(x+3)$:

$$\left(\frac{x^2}{3}-2\right){\log }_7(x+3)⩽0.$$

Умножим обе части на $3>0$, знак сохраняется:

$$\left(x^2-6\right){\log }_7(x+3)⩽0.$$

Применим метод рационализации. Запишем ${\log }_7(x+3)={\log }_7(x+3)-{\log }_{7}1$. Основание $7>1$, функция $y={\log }_{7}t$ возрастает, поэтому при $x+3>0$ эта разность имеет тот же знак, что и $(x+3)-1=x+2$, и обращается в ноль одновременно с ней. С учётом ОДЗ получаем равносильную систему:

$$\{\begin{array}{l}\left(x^2-6\right)(x+2)⩽0,\\ x>-3.\end{array}$$

Разложим $x^2-6$ по формуле разности квадратов: $x^2-6=\left(x-\sqrt{6}\right)\left(x+\sqrt{6}\right)$. Первое неравенство принимает вид

$$\left(x+\sqrt{6}\right)(x+2)\left(x-\sqrt{6}\right)⩽0.$$

Расположим точки по порядку. Так как $\sqrt{6}>\sqrt{4}=2$, имеем $-\sqrt{6}<-2<\sqrt{6}$. Неравенство нестрогое, все точки закрашиваем. При больших $x$ все множители положительны, через каждую точку знак меняется.

Получаем $x\in \left(-\infty ;-\sqrt{6}\right]\cup \left[-2;\sqrt{6}\right]$.

Учтём условие $x>-3$. Так как $\sqrt{6}<\sqrt{9}=3$, то $-3<-\sqrt{6}$, и от первого промежутка остаётся $\left(-3;-\sqrt{6}\right]$.

$$x\in \left(-3;-\sqrt{6}\right]\cup \left[-2;\sqrt{6}\right].$$

Ответ: $\left(-3;-\sqrt{6}\right]\cup \left[-2;\sqrt{6}\right]$.