ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №16 — показательные неравенства

Разбор — 2 балла

Найдём ОДЗ. Числитель определён при всех $x$, знаменатель не должен обращаться в ноль: $x\ne 0$.

Преобразуем числитель. По свойству ${\left(a^n\right)}^m=a^{nm}$ имеем $3^{3x}={\left(3^x\right)}^3$ и $3^{2x}={\left(3^x\right)}^2$. Сделаем замену $t=3^x$, где $t>0$:

$$3^{3x}-29\cdot 3^{2x}+55\cdot 3^x-27=t^3-29t^2+55t-27.$$

Подберём корень этого многочлена среди делителей свободного члена. Подставим $t=1$:

$$1^3-29\cdot 1^2+55\cdot 1-27=1-29+55-27=0.$$

Значит, $t=1$ — корень, и по теореме Безу многочлен делится на $t-1$. Выделим этот множитель группировкой (это равносильно делению столбиком):

$$t^3-29t^2+55t-27=\left(t^3-t^2\right)-\left(28t^2-28t\right)+(27t-27)=$$

$$=t^2(t-1)-28t(t-1)+27(t-1)=(t-1)\left(t^2-28t+27\right).$$

Квадратный трёхчлен $t^2-28t+27$ разложим по теореме Виета: сумма корней равна $28$, произведение равно $27$, поэтому корни $1$ и $27$, и $t^2-28t+27=(t-1)(t-27)$. Итак,

$$t^3-29t^2+55t-27=(t-1{)}^2(t-27).$$

Вернёмся к переменной $x$. Неравенство принимает вид

$$\frac{{\left(3^x-1\right)}^2\left(3^x-27\right)}{x}⩾0.$$

Применим метод рационализации. Запишем $3^x-1=3^x-3^0$ и $3^x-27=3^x-3^3$. Основание $3>1$, функция $y=3^t$ возрастает, поэтому разность $3^a-3^b$ имеет тот же знак, что и $a-b$, и обращается в ноль одновременно с ней. Значит, множитель $3^x-1$ можно заменить на $x$, а множитель $3^x-27$ — на $x-3$. Квадрат ${\left(3^x-1\right)}^2$ заменяется на $x^2$: оба выражения неотрицательны и обращаются в ноль в одной точке $x=0$.

$$\frac{x^2(x-3)}{x}⩾0.$$

Решим методом интервалов. Нули числителя: $x=0$ и $x=3$; нуль знаменателя: $x=0$. Точку $x=3$ закрашиваем (неравенство нестрогое), точку $x=0$ выкалываем — в ней знаменатель равен нулю. Множитель $x$ встречается всего три раза (дважды в числителе и один раз в знаменателе), то есть в нечётной степени, поэтому при переходе через $x=0$ знак меняется. При больших $x$ дробь положительна.

Проверим знак на левом интервале: при $x=-1$ получаем $\frac{1\cdot (-4)}{-1}=4>0$ — верно.

$$x\in (-\infty ;0)\cup [3;+\infty ).$$

Ответ: $(-\infty ;0)\cup [3;+\infty )$.