ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №16 — логарифмические неравенства

Разбор — 2 балла

Найдём ОДЗ. Логарифмы определены при $x>0$ (тогда и $64x>0$, и $x^4>0$). Кроме того, знаменатели не должны обращаться в ноль:

$$\{\begin{array}{l}x>0,\\ {\log }_{4}x-3\ne 0,\\ {\log }_4(64x)\ne 0,\\ {\log }_4^{2}x-9\ne 0.\end{array}$$

Сделаем замену $t={\log }_{4}x$. По свойствам логарифма произведения и логарифма степени (при $x>0$):

$${\log }_4(64x)={\log }_{4}64+{\log }_{4}x=3+t,{\log }_4{x}^4=4{\log }_{4}x=4t.$$

Условия на знаменатели в новой переменной: $t-3\ne 0$, $t+3\ne 0$ и $t^2-9=(t-3)(t+3)\ne 0$, то есть $t\ne 3$ и $t\ne -3$.

Неравенство принимает вид

$$\frac{t+3}{t-3}+\frac{t-3}{t+3}⩾\frac{4t+16}{t^2-9}.$$

Перенесём всё в левую часть. По формуле разности квадратов $t^2-9=(t-3)(t+3)$ — это общий знаменатель всех трёх дробей:

$$\frac{(t+3{)}^2+(t-3{)}^2-(4t+16)}{(t-3)(t+3)}⩾0.$$

Раскроем скобки по формулам квадрата суммы и квадрата разности:

$$(t+3{)}^2+(t-3{)}^2=t^2+6t+9+t^2-6t+9=2t^2+18.$$

Тогда числитель равен

$$2t^2+18-4t-16=2t^2-4t+2=2\left(t^2-2t+1\right)=2(t-1{)}^2.$$

Получаем неравенство

$$\frac{2(t-1{)}^2}{(t-3)(t+3)}⩾0.$$

Решим его методом интервалов. Нуль числителя $t=1$ закрашиваем (неравенство нестрогое), нули знаменателя $t=-3$ и $t=3$ выкалываем. При $t>3$ все множители положительны. Множитель $(t-1{)}^2$ стоит в чётной степени, поэтому при переходе через $t=1$ знак не меняется, а через $t=\pm 3$ — меняется.

Точка $t=1$ — решение, хотя соседние интервалы не подходят: в ней дробь равна нулю. Получаем совокупность:

$$[\begin{array}{l}t<-3,\\ t=1,\\ t>3.\end{array}$$

Сделаем обратную замену. Запишем числа в виде логарифмов по основанию $4$: $-3={\log }_4\frac{1}{64}$, $1={\log }_{4}4$, $3={\log }_{4}64$. Основание $4>1$, функция $y={\log }_{4}x$ возрастает, поэтому неравенство логарифмов равносильно такому же неравенству аргументов (с учётом условия $x>0$):

$$[\begin{array}{l}{\log }_{4}x<{\log }_4\frac{1}{64},\\ {\log }_{4}x={\log }_{4}4,\\ {\log }_{4}x>{\log }_{4}64\end{array}\iff [\begin{array}{l}0<x<\frac{1}{64},\\ x=4,\\ x>64.\end{array}$$

Все условия ОДЗ учтены: $x>0$ входит в первую строку, а точки $x=\frac{1}{64}$ и $x=64$ (где $t=\pm 3$) в ответ не попали.

Ответ: $\left(0;\frac{1}{64}\right)\cup \{4\}\cup (64;+\infty )$.