ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №16 — логарифмические неравенства

Разбор — 2 балла

Найдём ОДЗ: аргументы всех трёх логарифмов должны быть положительны.

$$\{\begin{array}{l}(3-x)\left(x^2+2\right)>0,\\ x^2-7x+12>0,\\ 5-x>0.\end{array}$$

Первое неравенство. Множитель $x^2+2⩾2>0$ при всех $x$, поэтому на него можно разделить, знак сохранится: $3-x>0$, то есть $x<3$.

Второе неравенство. Разложим трёхчлен на множители: по теореме Виета сумма корней равна $7$, произведение равно $12$, поэтому корни $3$ и $4$:

$$x^2-7x+12=(x-3)(x-4)>0.$$

Решим методом интервалов: обе точки выкалываем (неравенство строгое), при больших $x$ произведение положительно, через каждую точку знак меняется.

Получаем $x<3$ или $x>4$.

Третье неравенство даёт $x<5$.

Пересечём условия. Если $x<3$, то второе и третье условия выполняются автоматически, поэтому ОДЗ: $x\in (-\infty ;3)$.

Теперь решим неравенство на ОДЗ. Оба аргумента в правой части положительны, поэтому по свойству суммы логарифмов ${\log }_{a}b+{\log }_{a}c={\log }_a(bc)$ (при $b>0$, $c>0$):

$${\log }_5((3-x)\left(x^2+2\right))⩾{\log }_5((x-3)(x-4)(5-x)).$$

Основание $5>1$, функция $y={\log }_{5}t$ возрастает, поэтому на ОДЗ неравенство логарифмов равносильно такому же неравенству аргументов:

$$(3-x)\left(x^2+2\right)⩾(x-3)(x-4)(5-x).$$

Поменяем знаки у обоих множителей $x-3$ и $x-4$ — произведение от этого не изменится: $(x-3)(x-4)=(3-x)(4-x)$. Перенесём всё в левую часть и вынесем общий множитель $3-x$:

$$(3-x)\left(x^2+2\right)-(3-x)(4-x)(5-x)⩾0;$$

$$(3-x)(x^2+2-(4-x)(5-x))⩾0.$$

Раскроем скобки во втором множителе: $(4-x)(5-x)=20-9x+x^2$, поэтому

$$x^2+2-\left(x^2-9x+20\right)=9x-18=9(x-2).$$

Неравенство принимает вид

$$9(3-x)(x-2)⩾0.$$

Разделим обе части на $-9<0$, знак неравенства меняется на противоположный:

$$(x-2)(x-3)⩽0.$$

Решим методом интервалов: обе точки закрашиваем (неравенство нестрогое), между корнями произведение отрицательно.

Получаем $2⩽x⩽3$.

Пересечём с ОДЗ $x<3$: точку $x=3$ нужно выколоть.

$$x\in [2;3).$$

Ответ: $[2;3)$.