ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №16 — показательные неравенства

Разбор — 2 балла

Неравенство определено при всех $x$: показательная функция определена при любом показателе.

По формуле квадрата разности $a^2-2ab+b^2=(a-b{)}^2$ свернём показатель:

$$x^2-6x+9=x^2-2\cdot 3\cdot x+3^2=(x-3{)}^2.$$

Обозначим $t=(x-3{)}^2$, причём $t⩾0$. Неравенство принимает вид

$$3\cdot 25^t+5\cdot 9^t⩾8\cdot 15^t.$$

По свойствам степени $25^t={\left(5^t\right)}^2$, $9^t={\left(3^t\right)}^2$, $15^t=(3\cdot 5{)}^t=3^t\cdot 5^t$. Перенесём всё в левую часть:

$$3\cdot {\left(5^t\right)}^2-8\cdot 3^t\cdot 5^t+5\cdot {\left(3^t\right)}^2⩾0.$$

Это однородное неравенство второй степени относительно $5^t$ и $3^t$. Разделим обе части на ${\left(3^t\right)}^2>0$, знак неравенства сохраняется:

$$3\cdot {\left(\frac{5}{3}\right)}^{2t}-8\cdot {\left(\frac{5}{3}\right)}^t+5⩾0.$$

Сделаем замену $u={\left(\frac{5}{3}\right)}^t$, где $u>0$:

$$3u^2-8u+5⩾0.$$

Найдём корни трёхчлена. Дискриминант $D=(-8{)}^2-4\cdot 3\cdot 5=64-60=4$, поэтому

$$u_1=\frac{8-2}{6}=1,u_2=\frac{8+2}{6}=\frac{5}{3}.$$

Разложим на множители: $3u^2-8u+5=3(u-1)\left(u-\frac{5}{3}\right)=(u-1)(3u-5)$. Неравенство принимает вид

$$(u-1)(3u-5)⩾0.$$

Решим методом интервалов. Неравенство нестрогое, обе точки закрашиваем; при больших $u$ произведение положительно, через каждую точку знак меняется.

$$[\begin{array}{l}u⩽1,\\ u⩾\frac{5}{3}.\end{array}$$

Сделаем обратную замену. Запишем $1={\left(\frac{5}{3}\right)}^0$ и $\frac{5}{3}={\left(\frac{5}{3}\right)}^1$. Основание $\frac{5}{3}>1$, функция $y={\left(\frac{5}{3}\right)}^t$ возрастает, поэтому неравенство степеней равносильно такому же неравенству показателей:

$$[\begin{array}{l}{\left(\frac{5}{3}\right)}^t⩽{\left(\frac{5}{3}\right)}^0,\\ {\left(\frac{5}{3}\right)}^t⩾{\left(\frac{5}{3}\right)}^1\end{array}\iff [\begin{array}{l}t⩽0,\\ t⩾1.\end{array}$$

Вернёмся к переменной $x$:

$$[\begin{array}{l}(x-3{)}^2⩽0,\\ (x-3{)}^2⩾1.\end{array}$$

Первое неравенство. Квадрат любого числа неотрицателен, поэтому $(x-3{)}^2⩽0$ выполняется, только когда $(x-3{)}^2=0$, то есть при $x=3$.

Второе неравенство. Перенесём $1$ влево и применим формулу разности квадратов $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$:

$$(x-3{)}^2-1⩾0;$$

$$((x-3)-1)((x-3)+1)⩾0;$$

$$(x-4)(x-2)⩾0.$$

Решим методом интервалов: обе точки закрашиваем, вне отрезка между корнями произведение положительно.

Получаем $x\in (-\infty ;2]\cup [4;+\infty )$.

Объединим решения обоих неравенств совокупности: к найденным промежуткам добавляется отдельная точка $x=3$, которая лежит между $2$ и $4$.

$$x\in (-\infty ;2]\cup \{3\}\cup [4;+\infty ).$$

Ответ: $(-\infty ;2]\cup \{3\}\cup [4;+\infty )$.