Решите неравенство log₁₁(2x²+1)+log₁₁(1/(32x)+1)≥log₁₁(x/16+1) — 16 задание ЕГЭ профиль

№16 Логарифмические неравенства средняя развёрнутое

Решите неравенство $lo g_{11} (2 x^{2} + 1) + lo g_{11} (\frac{1}{32 x} + 1) \geq lo g_{11} (\frac{x}{16} + 1)$ .

Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором

Разбор — 2 балла

Найдём ОДЗ: аргументы всех логарифмов положительны.

$⎩ ⎨ ⎧ 2 x^{2} + 1 > 0, \frac{1}{32 x} + 1 > 0, \frac{x}{16} + 1 > 0.$

Первое неравенство выполняется при всех $x$ , так как $2 x^{2} + 1 ⩾ 1 > 0$ .

Второе неравенство приведём к общему знаменателю:

$\frac{1}{32 x} + 1 = \frac{32 x + 1}{32 x} > 0.$

Нуль числителя $x = - \frac{1}{32}$ , нуль знаменателя $x = 0$ , обе точки выкалываем (неравенство строгое). При больших $x$ дробь положительна, через каждую точку знак меняется.

Метод интервалов

Получаем $x \in (- \infty; - \frac{1}{32}) \cup (0; + \infty)$ .

Третье неравенство умножим на $16 > 0$ : $x + 16 > 0$ , то есть $x > - 16$ .

Пересечём условия:

Решение на числовой прямой

ОДЗ: $x \in (- 16; - \frac{1}{32}) \cup (0; + \infty)$ .

На ОДЗ оба аргумента в левой части положительны, поэтому по свойству суммы логарифмов $lo g_{a} b + lo g_{a} c = lo g_{a} (b c)$ :

$lo g_{11} ((2 x^{2} + 1) (\frac{1}{32 x} + 1)) ⩾ lo g_{11} (\frac{x}{16} + 1) .$

Основание $11 > 1$ , функция $y = lo g_{11} t$ возрастает, поэтому на ОДЗ неравенство равносильно неравенству аргументов:

$(2 x^{2} + 1) (\frac{1}{32 x} + 1) ⩾ \frac{x}{16} + 1.$

Раскроем скобки в левой части. Заметим, что $2 x^{2} \cdot \frac{1}{32 x} = \frac{x}{16}$ :

$\frac{x}{16} + 2 x^{2} + \frac{1}{32 x} + 1 ⩾ \frac{x}{16} + 1.$

Слагаемые $\frac{x}{16}$ и $1$ есть в обеих частях, вычтем их:

$2 x^{2} + \frac{1}{32 x} ⩾ 0.$

Приведём к общему знаменателю $32 x$ :

$\frac{64 x ^{3} + 1}{32 x} ⩾ 0.$

По формуле суммы кубов $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - ab + b^{2})$ :

$64 x^{3} + 1 = (4 x)^{3} + 1^{3} = (4 x + 1) (16 x^{2} - 4 x + 1) .$

У трёхчлена $16 x^{2} - 4 x + 1$ дискриминант $D = (- 4)^{2} - 4 \cdot 16 \cdot 1 = - 48 < 0$ , а старший коэффициент $16 > 0$ , поэтому $16 x^{2} - 4 x + 1 > 0$ при всех $x$ . Разделим обе части неравенства на этот положительный множитель, а также умножим на положительное число $32$ — знак сохраняется:

$\frac{4 x + 1}{x} ⩾ 0.$

Решим методом интервалов. Нуль числителя $x = - \frac{1}{4}$ закрашиваем (неравенство нестрогое), нуль знаменателя $x = 0$ выкалываем. При больших $x$ дробь положительна, через каждую точку знак меняется.

Метод интервалов

Получаем $x \in (- \infty; - \frac{1}{4}] \cup (0; + \infty)$ .

Пересечём с ОДЗ. Так как $- 16 < - \frac{1}{4} < - \frac{1}{32}$ , из промежутка $(- 16; - \frac{1}{32})$ остаётся $(- 16; - \frac{1}{4}]$ , а промежуток $(0; + \infty)$ сохраняется целиком.

Ответ на числовой прямой

$x \in (- 16; - \frac{1}{4}] \cup (0; + \infty) .$

Ответ: $(- 16; - \frac{1}{4}] \cup (0; + \infty)$ .

ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №16 — логарифмические неравенства

Сообщить об ошибке

Ещё задания №16