ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №16 — показательные неравенства

Разбор — 2 балла

Найдём ОДЗ. Аргумент логарифма $0,5\cdot 2^x$ положителен при всех $x$. Знаменатель не должен обращаться в ноль:

$${\log }_3\left(0,5\cdot 2^x\right)\ne 0\iff 0,5\cdot 2^x\ne 1\iff 2^x\ne 2\iff x\ne 1.$$

ОДЗ: $x\ne 1$.

Запишем знаменатель как разность логарифмов:

$${\log }_3\left(0,5\cdot 2^x\right)={\log }_3\left(0,5\cdot 2^x\right)-{\log }_{3}1.$$

Основание $3>1$, функция $y={\log }_{3}t$ возрастает. Поэтому для положительных $a$ и $b$ разность ${\log }_{3}a-{\log }_{3}b$ имеет тот же знак, что и $a-b$, и обращается в ноль одновременно с ней. По методу рационализации заменим знаменатель на $0,5\cdot 2^x-1$ — получится равносильное неравенство:

$$\frac{4^x-3\cdot 2^x+2}{0,5\cdot 2^x-1}⩾0.$$

Вынесем в знаменателе множитель $\frac{1}{2}$: $0,5\cdot 2^x-1=\frac{1}{2}\left(2^x-2\right)$. Умножим обе части неравенства на положительное число $\frac{1}{2}$, знак сохраняется:

$$\frac{4^x-3\cdot 2^x+2}{2^x-2}⩾0.$$

Сделаем замену $t=2^x$, где $t>0$. По свойству ${\left(a^n\right)}^m=a^{nm}$ имеем $4^x={\left(2^2\right)}^x={\left(2^x\right)}^2=t^2$, поэтому

$$\frac{t^2-3t+2}{t-2}⩾0.$$

Разложим числитель на множители. По теореме Виета сумма корней равна $3$, произведение равно $2$, поэтому корни $t_1=1$ и $t_2=2$:

$$\frac{(t-1)(t-2)}{t-2}⩾0.$$

Решим методом интервалов. Нули числителя: $t=1$ и $t=2$; нуль знаменателя: $t=2$. Точку $t=1$ закрашиваем (неравенство нестрогое), точку $t=2$ выкалываем — в ней знаменатель равен нулю. Множитель $t-2$ встречается дважды, поэтому при переходе через $t=2$ знак не меняется. При больших $t$ дробь положительна.

Получаем $t⩾1$, $t\ne 2$. Условие $t>0$ при этом выполняется автоматически.

Сделаем обратную замену. Функция $y=2^x$ возрастает (основание $2>1$), поэтому неравенство степеней с основанием $2$ равносильно такому же неравенству показателей:

$$\{\begin{array}{l}{2}^x⩾2^0,\\ 2^x\ne 2^1\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x⩾0,\\ x\ne 1.\end{array}$$

Условие ОДЗ $x\ne 1$ уже учтено.

$$x\in [0;1)\cup (1;+\infty ).$$

Ответ: $[0;1)\cup (1;+\infty )$.