Решите неравенство log₄((x-5)(x²-2x-15))+1≥0,5log₂(x-5)² — 16 задание ЕГЭ профиль

№16 Логарифмические неравенства средняя развёрнутое

Решите неравенство $lo g_{4} ((x - 5) (x^{2} - 2 x - 15)) + 1 \geq 0, 5 lo g_{2} (x - 5)^{2}$ .

Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором

Разбор — 2 балла

Разложим квадратный трёхчлен $x^{2} - 2 x - 15$ на множители. По теореме Виета сумма его корней равна $2$ , а произведение равно $- 15$ , поэтому корни $x_{1} = - 3$ и $x_{2} = 5$ :

$x^{2} - 2 x - 15 = (x + 3) (x - 5) .$

Тогда выражение под первым логарифмом равно

$(x - 5) (x^{2} - 2 x - 15) = (x - 5) (x - 5) (x + 3) = (x - 5)^{2} (x + 3) .$

Найдём ОДЗ: аргументы обоих логарифмов положительны.

${(x - 5)^{2} (x + 3) > 0, (x - 5)^{2} > 0.$

Квадрат положителен, когда выражение под ним не равно нулю, поэтому второе условие даёт $x \neq = 5$ . Первое неравенство решим методом интервалов: нули $x = - 3$ и $x = 5$ выкалываем, при переходе через $x = 5$ (множитель в чётной степени) знак не меняется.

Метод интервалов

ОДЗ: $x \in (- 3; 5) \cup (5; + \infty)$ .

Приведём все слагаемые к логарифмам по основанию $4$ . По свойству $lo g_{a^{k}} b = \frac{1}{k} lo g_{a} b$ :

$0, 5 lo g_{2} (x - 5)^{2} = \frac{1}{2} lo g_{2} (x - 5)^{2} = lo g_{2^{2}} (x - 5)^{2} = lo g_{4} (x - 5)^{2} .$

Число $1$ запишем как $lo g_{4} 4$ . Тогда по свойству суммы логарифмов $lo g_{a} b + lo g_{a} c = lo g_{a} (b c)$ левая часть равна

$lo g_{4} ((x - 5)^{2} (x + 3)) + lo g_{4} 4 = lo g_{4} (4 (x - 5)^{2} (x + 3)) .$

Неравенство принимает вид

$lo g_{4} (4 (x - 5)^{2} (x + 3)) ⩾ lo g_{4} (x - 5)^{2} .$

Основание $4 > 1$ , функция $y = lo g_{4} t$ возрастает, поэтому на ОДЗ неравенство логарифмов равносильно такому же неравенству аргументов:

$4 (x - 5)^{2} (x + 3) ⩾ (x - 5)^{2} .$

Перенесём всё в левую часть и вынесем общий множитель $(x - 5)^{2}$ :

$(x - 5)^{2} (4 (x + 3) - 1) ⩾ 0;$

$(x - 5)^{2} (4 x + 11) ⩾ 0.$

Решим методом интервалов. Нули: $x = - \frac{11}{4}$ и $x = 5$ , неравенство нестрогое, поэтому обе точки закрашиваем. Множитель $(x - 5)^{2}$ стоит в чётной степени, при переходе через $x = 5$ знак не меняется. При больших $x$ произведение положительно.

Метод интервалов

Получаем $x \in [- \frac{11}{4}; + \infty)$ .

Пересечём с ОДЗ. Так как $- \frac{11}{4} = - 2, 75 > - 3$ , левая граница ОДЗ решение не обрезает, а точку $x = 5$ нужно выколоть.

Ответ на числовой прямой

$x \in [- \frac{11}{4}; 5) \cup (5; + \infty) .$

Ответ: $[- \frac{11}{4}; 5) \cup (5; + \infty)$ .

ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №16 — логарифмические неравенства

Сообщить об ошибке

Ещё задания №16