ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №16 — логарифмические неравенства

Разбор — 2 балла

Найдём ОДЗ. Аргумент ${\log }_{2}x$ должен быть положителен: $x>0$. Аргумент $0,5\cdot 2^x$ положителен при всех $x$. Знаменатель не должен обращаться в ноль:

$${\log }_{0,2}\left(0,5\cdot 2^x\right)\ne 0\iff 0,5\cdot 2^x\ne 1\iff 2^{x-1}\ne 2^0\iff x\ne 1.$$

ОДЗ: $x\in (0;1)\cup (1;+\infty )$.

Преобразуем знаменатель. Так как $0,5=2^{-1}$, по свойству $a^n\cdot a^m=a^{n+m}$ имеем $0,5\cdot 2^x=2^{x-1}$. По свойству логарифма степени ${\log }_a{b}^k=k{\log }_{a}b$ (при $b>0$):

$${\log }_{0,2}\left(0,5\cdot 2^x\right)={\log }_{0,2}{2}^{x-1}=(x-1){\log }_{0,2}2.$$

Основание $0,2<1$, поэтому функция $y={\log }_{0,2}t$ убывает. Так как $2>1$, получаем ${\log }_{0,2}2<{\log }_{0,2}1=0$, то есть ${\log }_{0,2}2$ — отрицательное число.

В числителе вынесем общий множитель ${\log }_{2}x$:

$${\log }_2^{2}x-{\log }_{2}x={\log }_{2}x\left({\log }_{2}x-1\right).$$

Неравенство принимает вид

$$\frac{{\log }_{2}x\left({\log }_{2}x-1\right)}{(x-1){\log }_{0,2}2}⩾0.$$

Умножим обе части на отрицательное число ${\log }_{0,2}2$ — знак неравенства меняется на противоположный:

$$\frac{{\log }_{2}x\left({\log }_{2}x-1\right)}{x-1}⩽0.$$

Применим метод рационализации. Запишем множители числителя как разности логарифмов: ${\log }_{2}x={\log }_{2}x-{\log }_{2}1$ и ${\log }_{2}x-1={\log }_{2}x-{\log }_{2}2$. Основание $2>1$, функция $y={\log }_{2}t$ возрастает, поэтому при $x>0$ разность ${\log }_{2}x-{\log }_{2}b$ имеет тот же знак, что и $x-b$, и обращается в ноль одновременно с ней. Значит, множитель ${\log }_{2}x$ можно заменить на $x-1$, а множитель ${\log }_{2}x-1$ — на $x-2$, сохранив условие $x>0$:

$$\{\begin{array}{l}\frac{(x-1)(x-2)}{x-1}⩽0,\\ x>0.\end{array}$$

Решим первое неравенство методом интервалов. Нули числителя: $x=1$ и $x=2$; нуль знаменателя: $x=1$. Точку $x=2$ закрашиваем (неравенство нестрогое), а точку $x=1$ выкалываем — в ней знаменатель равен нулю. Множитель $x-1$ встречается дважды, то есть в чётной степени, поэтому при переходе через $x=1$ знак не меняется. При $x>2$ дробь положительна.

Получаем $x\in (-\infty ;1)\cup (1;2]$.

Учтём условие $x>0$: левая граница сдвигается в точку $0$, которую выкалываем.

$$x\in (0;1)\cup (1;2].$$

Ответ: $(0;1)\cup (1;2]$.