ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №16 — показательные неравенства

Разбор — 2 балла

Неравенство определено при всех $x$, кроме тех, при которых знаменатель равен нулю. Упростим числитель и знаменатель.

Числитель. Так как $0,125=\frac{1}{8}=2^{-3}$ и $64=2^6$, по свойству ${\left(a^n\right)}^m=a^{nm}$ получаем:

$$0,125^x-64={\left(2^{-3}\right)}^x-2^6=2^{-3x}-2^6.$$

Знаменатель. По свойствам степени $4^{x+1}=4^x\cdot 4$ и $4^{2x}={\left(4^x\right)}^2$. Тогда по формуле квадрата разности $a^2-2ab+b^2=(a-b{)}^2$:

$$4^{2x}-4^{x+1}+4={\left(4^x\right)}^2-2\cdot 4^x\cdot 2+2^2={\left(4^x-2\right)}^2.$$

Неравенство принимает вид

$$\frac{2^{-3x}-2^6}{{\left(4^x-2\right)}^2}⩽0.$$

Знаменатель — квадрат, поэтому он неотрицателен. Найдём, когда он равен нулю:

$$4^x=2\iff 2^{2x}=2^1\iff x=\frac{1}{2}.$$

Здесь мы воспользовались тем, что функция $y=2^t$ возрастает (основание $2>1$), поэтому равенство степеней с одинаковым основанием равносильно равенству показателей.

Точка $x=\frac{1}{2}$ не входит в область определения. При всех остальных $x$ знаменатель положителен, поэтому знак дроби совпадает со знаком числителя. Умножим обе части на положительный знаменатель, знак неравенства сохраняется:

$$2^{-3x}-2^6⩽0\iff 2^{-3x}⩽2^6.$$

Функция $y=2^t$ возрастает, поэтому неравенство степеней с основанием $2$ равносильно такому же неравенству показателей:

$$-3x⩽6\iff x⩾-2.$$

При делении на отрицательное число $-3$ знак неравенства поменялся на противоположный.

Отметим результат методом интервалов для исходной дроби. Числитель обращается в ноль при $x=-2$ — эту точку закрашиваем, так как неравенство нестрогое. Точку $x=\frac{1}{2}$, где знаменатель равен нулю, выкалываем. Левее $-2$ числитель положителен, правее — отрицателен; знаменатель — квадрат, поэтому при переходе через $\frac{1}{2}$ знак дроби не меняется.

Получаем $x\in \left[-2;\frac{1}{2}\right)\cup \left(\frac{1}{2};+\infty \right)$.

Ответ: $\left[-2;\frac{1}{2}\right)\cup \left(\frac{1}{2};+\infty \right)$.