ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №16 — логарифмические неравенства

Разбор — 2 балла

Найдём область допустимых значений: под знаком каждого логарифма должно стоять положительное выражение.

$$\{\begin{array}{l}\frac{2}{x}+2>0,\\ x+3>0,\\ \frac{x+6}{x^2}>0.\end{array}$$

Решим первое неравенство. Приведём левую часть к общему знаменателю:

$$\frac{2}{x}+2=\frac{2+2x}{x}=\frac{2(x+1)}{x}>0.$$

Применим метод интервалов. Нуль числителя $x=-1$, нуль знаменателя $x=0$. Неравенство строгое, поэтому обе точки выкалываем. При больших $x$ дробь положительна, а при переходе через каждую точку (множители первой степени) знак меняется.

Получаем $x\in (-\infty ;-1)\cup (0;+\infty )$.

Второе неравенство даёт $x>-3$.

В третьем неравенстве знаменатель $x^2$ положителен при всех $x\ne 0$, поэтому дробь положительна, когда $x+6>0$ и $x\ne 0$, то есть $x>-6$, $x\ne 0$.

Пересечём все три условия. Условие $x>-6$ выполняется автоматически, если $x>-3$, поэтому остаются точки $-3$, $-1$ и $0$:

ОДЗ: $x\in (-3;-1)\cup (0;+\infty )$.

Теперь решим само неравенство на ОДЗ. Перенесём ${\log }_5(x+3)$ в правую часть:

$${\log }_5\frac{2(x+1)}{x}⩽{\log }_5(x+3)+{\log }_5\frac{x+6}{x^2}.$$

На ОДЗ оба аргумента в правой части положительны, поэтому по свойству суммы логарифмов ${\log }_{a}b+{\log }_{a}c={\log }_a(bc)$ (при $b>0$, $c>0$) правую часть можно записать одним логарифмом:

$${\log }_5\frac{2(x+1)}{x}⩽{\log }_5\frac{(x+3)(x+6)}{x^2}.$$

Основание $5>1$, поэтому функция $y={\log }_{5}t$ возрастает: меньшему значению логарифма соответствует меньший аргумент. Значит, на ОДЗ неравенство равносильно неравенству аргументов:

$$\frac{2(x+1)}{x}⩽\frac{(x+3)(x+6)}{x^2}.$$

На ОДЗ $x\ne 0$, значит $x^2>0$. Умножим обе части на $x^2$, знак неравенства при этом сохраняется:

$$2x(x+1)⩽(x+3)(x+6).$$

Раскроем скобки и перенесём всё в левую часть:

$$2x^2+2x⩽x^2+9x+18;$$

$$x^2-7x-18⩽0.$$

Найдём корни трёхчлена по теореме Виета: их сумма равна $7$, произведение равно $-18$. Подходит пара $x_1=-2$, $x_2=9$. Разложим трёхчлен на множители:

$$(x+2)(x-9)⩽0.$$

Неравенство нестрогое, поэтому обе точки закрашиваем. Старший коэффициент положителен, поэтому между корнями произведение отрицательно, а вне их — положительно.

Получаем $-2⩽x⩽9$.

Пересечём этот отрезок с ОДЗ $(-3;-1)\cup (0;+\infty )$. Так как $-3<-2$, из промежутка $(-3;-1)$ остаётся $[-2;-1)$, а из промежутка $(0;+\infty )$ остаётся $(0;9]$.

Ответ: $[-2;-1)\cup (0;9]$.