ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №16 — логарифм с переменным основанием

Разбор — 2 балла

Решим каждое неравенство системы отдельно, а затем пересечём множества их решений.

1. Первое неравенство. Запишем ограничения: основание положительно и не равно единице, аргумент положителен:

$$\{\begin{array}{l}4-x>0,\\ 4-x\ne 1,\\ 16-x^2>0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x<4,\\ x\ne 3,\\ -4<x<4.\end{array}$$

ОДЗ: $x\in (-4;3)\cup (3;4)$.

На ОДЗ разложим аргумент по формуле разности квадратов: $16-x^2=(4-x)(4+x)$, оба множителя положительны. Логарифм произведения равен сумме логарифмов, а ${\log }_{4-x}(4-x)=1$:

$${\log }_{4-x}(4-x)+{\log }_{4-x}(4+x)⩽1\iff {\log }_{4-x}(4+x)⩽0\iff {\log }_{4-x}(4+x)⩽{\log }_{4-x}1.$$

Основание переменное, поэтому применим метод рационализации: на ОДЗ знак разности ${\log }_{a}b-{\log }_{a}c$ совпадает со знаком произведения $(a-1)(b-c)$. При $a=4-x$, $b=4+x$, $c=1$ получаем

$$(4-x-1)(4+x-1)⩽0\iff (3-x)(x+3)⩽0\iff (x-3)(x+3)⩾0.$$

Решим методом интервалов:

Получаем $x⩽-3$ или $x⩾3$. Пересечём с ОДЗ: от промежутка $(-4;3)$ остаётся $(-4;-3]$, точка $3$ выколота, промежуток $(3;4)$ сохраняется.

Проверим себя разбором случаев. Если $-4<x<3$, то основание $4-x>1$, логарифм возрастает, и нужно $4+x⩽1$, то есть $x⩽-3$. Если $3<x<4$, то $0<4-x<1$, логарифм убывает, и нужно $4+x⩾1$, то есть $x⩾-3$ — верно для всего промежутка. Результат тот же.

Решение первого неравенства: $x\in (-4;-3]\cup (3;4)$.

2. Второе неравенство. Разложим знаменатель: корни трёхчлена $x^2+x-2$ равны $-2$ и $1$, поэтому $x^2+x-2=(x+2)(x-1)$. Ограничения: $x\ne -2$, $x\ne 1$.

Перенесём всё в левую часть и приведём к общему знаменателю $(x+2)(x-1)$:

$$\frac{(2x+1)(x+2)(x-1)-(21x+39)+(x-1)}{(x+2)(x-1)}⩾0.$$

Раскроем скобки в числителе. Сначала $(2x+1)\left(x^2+x-2\right)=2x^3+2x^2-4x+x^2+x-2=2x^3+3x^2-3x-2$. Затем вычтем $21x+39$ и прибавим $x-1$:

$$2x^3+3x^2-3x-2-21x-39+x-1=2x^3+3x^2-23x-42.$$

Подберём корень числителя. При $x=-2$ получаем $-16+12+46-42=0$, значит, по теореме Безу многочлен делится на $x+2$. Выделим этот множитель группировкой:

$$2x^3+3x^2-23x-42=\left(2x^3+4x^2\right)-\left(x^2+2x\right)-(21x+42)=(x+2)\left(2x^2-x-21\right).$$

У трёхчлена $2x^2-x-21$ дискриминант $D=1+168=169=13^2$, корни $x=\frac{1\pm 13}{4}$, то есть $3,5$ и $-3$. Значит, $2x^2-x-21=(2x-7)(x+3)$, и неравенство принимает вид

$$\frac{(x+2)(x+3)(2x-7)}{(x+2)(x-1)}⩾0.$$

При $x\ne -2$ дробь $\frac{x+2}{x+2}$ равна $1$, поэтому сократим на $x+2$, запомнив, что точка $-2$ исключена:

$$\frac{(x+3)(2x-7)}{x-1}⩾0,x\ne -2.$$

Решим методом интервалов. Нули числителя $-3$ и $3,5$ закрашиваем, нуль знаменателя $1$ и исключённую точку $-2$ выкалываем. При $x>3,5$ выражение положительно, при переходе через $3,5$, $1$, $-3$ знак меняется, а через $-2$ — нет (выражение там просто не определено).

Решение второго неравенства: $x\in [-3;-2)\cup (-2;1)\cup [3,5;+\infty )$.

3. Пересечение. С промежутком $(-4;-3]$ первого неравенства второе множество имеет общую точку только $x=-3$. С промежутком $(3;4)$ пересекается луч $[3,5;+\infty )$, давая $[3,5;4)$.

Ответ: $\{-3\}\cup [3,5;4)$.