ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №16 — показательные неравенства

Разбор — 2 балла

Ограничений нет, неравенство определено при всех $x$. Обозначим $y=4^x-3\cdot 2^x$. Получаем квадратное неравенство

$$y^2-38y-80⩽0.$$

Корни трёхчлена равны $40$ и $-2$ (по теореме Виета их сумма $38$, произведение $-80$), поэтому

$$(y-40)(y+2)⩽0.$$

Вернёмся к переменной $x$. Так как $4^x={\left(2^x\right)}^2$, обозначим $t=2^x$, $t>0$. Тогда $y=t^2-3t$, и неравенство $(y-40)(y+2)⩽0$ принимает вид

$$\left(t^2-3t-40\right)\left(t^2-3t+2\right)⩽0.$$

Разложим оба трёхчлена по теореме Виета: у первого корни $8$ и $-5$, у второго — $1$ и $2$:

$$(t-8)(t+5)(t-1)(t-2)⩽0.$$

Решим методом интервалов. Все точки закрашены, при $t>8$ все множители положительны, корни простые, поэтому знаки чередуются.

Получаем $-5⩽t⩽1$ или $2⩽t⩽8$. С учётом условия $t>0$ остаётся:

$$[\begin{array}{l}0<t⩽1,\\ 2⩽t⩽8.\end{array}$$

Сделаем обратную замену. Неравенство $2^x>0$ верно при всех $x$. Функция $y=2^x$ возрастает, так как $2>1$, поэтому неравенства между степенями двойки равносильны неравенствам того же знака между показателями:

$$[\begin{array}{l}{2}^x⩽2^0,\\ 2^1⩽2^x⩽2^3\end{array}\iff [\begin{array}{l}x⩽0,\\ 1⩽x⩽3.\end{array}$$

Ответ: $(-\infty ;0]\cup [1;3]$.