ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №16 — показательные неравенства

Разбор — 2 балла

Ограничений нет: показатель $4x-x^2-1$ определён при всех $x$.

Сделаем замену $t=3^{4x-x^2-1}$, $t>0$. Так как $9=3^2$, первое слагаемое равно $9^{4x-x^2-1}={\left(3^{4x-x^2-1}\right)}^2=t^2$. Получаем

$$t^2-36t+243⩾0.$$

Корни трёхчлена равны $9$ и $27$ (по теореме Виета их сумма $36$, произведение $243$), поэтому

$$(t-9)(t-27)⩾0.$$

Решим методом интервалов, точки закрашены, так как неравенство нестрогое:

Получаем $t⩽9$ или $t⩾27$. Сделаем обратную замену. Функция $y=3^s$ возрастает, так как $3>1$, поэтому неравенство между степенями тройки равносильно неравенству того же знака между показателями:

$$[\begin{array}{l}{3}^{4x-x^2-1}⩽3^2,\\ 3^{4x-x^2-1}⩾3^3\end{array}\iff [\begin{array}{l}4x-x^2-1⩽2,\\ 4x-x^2-1⩾3\end{array}\iff [\begin{array}{l}{x}^2-4x+3⩾0,\\ x^2-4x+4⩽0.\end{array}$$

Первое неравенство: корни трёхчлена $1$ и $3$, то есть $(x-1)(x-3)⩾0$.

Его решение: $x⩽1$ или $x⩾3$.

Второе неравенство: $x^2-4x+4=(x-2{)}^2$, а квадрат не может быть отрицательным. Поэтому $(x-2{)}^2⩽0$ только при $(x-2{)}^2=0$, то есть при $x=2$.

Объединим решения совокупности: точка $x=2$ лежит между $1$ и $3$ и добавляется к ответу отдельно.

Ответ: $(-\infty ;1]\cup \{2\}\cup [3;+\infty )$.