ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №16 — логарифм с переменным основанием

Разбор — 2 балла

Преобразуем знаменатель. При $x\ne 0$ имеем $x^4={\left(x^2\right)}^2$ и $x^2>0$, поэтому по свойству логарифма степени

$$2{\log }_4{x}^4=2\cdot 2{\log }_4{x}^2=4{\log }_4{x}^2.$$

Тогда знаменатель — полный квадрат по формуле $a^2+2ab+b^2=(a+b{)}^2$ при $a={\log }_4{x}^2$, $b=2$:

$${\log }_4^2{x}^2+4{\log }_4{x}^2+4={\left({\log }_4{x}^2+2\right)}^2.$$

Неравенство принимает вид

$$\frac{{\log }_4(3-x)-{\log }_4(x+1)}{{\left({\log }_4{x}^2+2\right)}^2}⩾0.$$

Найдём ОДЗ: аргументы всех логарифмов положительны, а знаменатель не равен нулю:

$$\{\begin{array}{l}3-x>0,\\ x+1>0,\\ x^2>0,\\ {\log }_4{x}^2+2\ne 0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x<3,\\ x>-1,\\ x\ne 0,\\ x^2\ne 4^{-2}.\end{array}$$

Последнее условие: ${\log }_4{x}^2\ne -2$, то есть $x^2\ne \frac{1}{16}$, $x\ne \pm \frac{1}{4}$.

ОДЗ: $x\in \left(-1;-\frac{1}{4}\right)\cup \left(-\frac{1}{4};0\right)\cup \left(0;\frac{1}{4}\right)\cup \left(\frac{1}{4};3\right)$.

На ОДЗ знаменатель — квадрат ненулевого числа, то есть он строго положителен. Поэтому дробь неотрицательна ровно тогда, когда неотрицателен числитель:

$${\log }_4(3-x)-{\log }_4(x+1)⩾0\iff {\log }_4(3-x)⩾{\log }_4(x+1).$$

Функция $y={\log }_{4}t$ возрастает, так как $4>1$, поэтому на ОДЗ неравенство равносильно неравенству аргументов с тем же знаком:

$$3-x⩾x+1\iff 2x⩽2\iff x⩽1.$$

Пересечём с ОДЗ: правый конец $3$ заменяется на $1$ (точка $1$ входит), а выколотые точки $-\frac{1}{4}$, $0$, $\frac{1}{4}$ лежат левее $1$ и остаются выколотыми.

Ответ: $\left(-1;-\frac{1}{4}\right)\cup \left(-\frac{1}{4};0\right)\cup \left(0;\frac{1}{4}\right)\cup \left(\frac{1}{4};1\right]$.