ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №16 — логарифмические неравенства

Разбор — 2 балла

Найдём ОДЗ. Внутренний логарифм существует при $x>0$, а внешний требует ${\log }_{5}x>0$. Так как $5>1$, функция $y={\log }_{5}x$ возрастает, и ${\log }_{5}x>{\log }_{5}1$ означает $x>1$.

ОДЗ: $x>1$.

На ОДЗ по основному логарифмическому тождеству $a^{{\log }_{a}b}=b$ (при $b>0$):

$$5^{{\log }_5({\log }_{5}x)}={\log }_{5}x.$$

Перейдём ко второму слагаемому. Так как $0,2=5^{-1}$, по свойству ${\log }_{a^k}b=\frac{1}{k}{\log }_{a}b$ получаем ${\log }_{0,2}x=-{\log }_{5}x$, и после возведения в квадрат минус исчезает:

$${\log }_{0,2}^{2}x={\left(-{\log }_{5}x\right)}^2={\log }_5^{2}x.$$

Неравенство принимает вид

$${\log }_{5}x+{\log }_5^{2}x-12⩽0.$$

Сделаем замену $t={\log }_{5}x$. Условие ОДЗ ${\log }_{5}x>0$ даёт $t>0$. Получаем

$$t^2+t-12⩽0.$$

Корни трёхчлена $-4$ и $3$ (по теореме Виета их сумма $-1$, произведение $-12$), поэтому

$$(t+4)(t-3)⩽0.$$

Решим методом интервалов, точки закрашены, так как неравенство нестрогое:

Итак, $-4⩽t⩽3$. С учётом условия $t>0$ остаётся $0<t⩽3$:

Сделаем обратную замену. Функция $y={\log }_{5}x$ возрастает, поэтому знаки неравенств между логарифмами сохраняются между аргументами:

$$0<{\log }_{5}x⩽3\iff {\log }_{5}1<{\log }_{5}x⩽{\log }_{5}125\iff 1<x⩽125.$$

Ответ: $(1;125]$.