ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №16 — рациональные неравенства

Разбор — 2 балла

Разложим знаменатель на множители: корни трёхчлена $x^2-16x+63$ равны $7$ и $9$ (по теореме Виета их сумма $16$, произведение $63$), поэтому

$$x^2-16x+63=(x-7)(x-9).$$

Ограничения: знаменатели не равны нулю, то есть $x\ne 7$ и $x\ne 9$.

Перенесём дробь из левой части в правую:

$$x-7⩽\frac{8x-74}{(x-7)(x-9)}+\frac{1}{x-9}.$$

Приведём правую часть к общему знаменателю $(x-7)(x-9)$, домножив вторую дробь на $x-7$:

$$\frac{8x-74+x-7}{(x-7)(x-9)}=\frac{9x-81}{(x-7)(x-9)}=\frac{9(x-9)}{(x-7)(x-9)}.$$

При $x\ne 9$ дробь можно сократить на $x-9$, точку $x=9$ запомним как исключённую. Получаем

$$x-7⩽\frac{9}{x-7}.$$

Перенесём всё в левую часть и приведём к общему знаменателю. В числителе получится разность квадратов $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$:

$$\frac{(x-7{)}^2-9}{x-7}⩽0\iff \frac{(x-7-3)(x-7+3)}{x-7}⩽0\iff \frac{(x-10)(x-4)}{x-7}⩽0.$$

Решим методом интервалов. Нули числителя $4$ и $10$ закрашиваем, нуль знаменателя $7$ выкалываем. При $x>10$ все множители положительны, дальше знаки чередуются.

Получаем $x⩽4$ или $7<x⩽10$. Осталось выколоть точку $x=9$, которая попадает в промежуток $(7;10]$:

Ответ: $(-\infty ;4]\cup (7;9)\cup (9;10]$.