ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №16 — логарифмические неравенства

Разбор — 2 балла

Запишем ограничения — все аргументы логарифмов положительны:

$$\{\begin{array}{l}3x+1>0,\\ \frac{1}{72x^2}+1>0,\\ \frac{1}{24x}+1>0.\end{array}$$

Первое неравенство даёт $x>-\frac{1}{3}$.

Второе выполняется при всех $x\ne 0$: дробь $\frac{1}{72x^2}$ положительна, и к ней прибавляется единица. Нужно лишь, чтобы знаменатель не обращался в ноль, то есть $x\ne 0$.

Третье приведём к общему знаменателю: $\frac{24x+1}{24x}>0$. Нуль числителя $-\frac{1}{24}$, нуль знаменателя $0$, обе точки выколоты. Решим методом интервалов:

Получаем $x<-\frac{1}{24}$ или $x>0$. Пересечём с условием $x>-\frac{1}{3}$ (заметим, что $-\frac{1}{3}<-\frac{1}{24}$):

ОДЗ: $x\in \left(-\frac{1}{3};-\frac{1}{24}\right)\cup (0;+\infty )$.

На ОДЗ оба аргумента в левой части положительны, поэтому сумму логарифмов с одинаковым основанием заменим логарифмом произведения:

$${\log }_5\left((3x+1)\left(\frac{1}{72x^2}+1\right)\right)⩾{\log }_5\left(\frac{1}{24x}+1\right).$$

Функция $y={\log }_{5}t$ возрастает, так как $5>1$, поэтому на ОДЗ неравенство равносильно неравенству аргументов с тем же знаком:

$$(3x+1)\left(\frac{1}{72x^2}+1\right)⩾\frac{1}{24x}+1.$$

Раскроем скобки в левой части. Так как $\frac{3x}{72x^2}=\frac{1}{24x}$, получаем

$$(3x+1)\left(\frac{1}{72x^2}+1\right)=\frac{1}{24x}+\frac{1}{72x^2}+3x+1.$$

Слагаемые $\frac{1}{24x}$ и $1$ есть в обеих частях, они сокращаются:

$$\frac{1}{72x^2}+3x⩾0\iff \frac{216x^3+1}{72x^2}⩾0.$$

На ОДЗ $x\ne 0$, поэтому знаменатель $72x^2$ положителен, и на него можно умножить, не меняя знака:

$$216x^3+1⩾0.$$

Разложим по формуле суммы кубов $a^3+b^3=(a+b)\left(a^2-ab+b^2\right)$, где $a=6x$, $b=1$:

$$(6x+1)\left(36x^2-6x+1\right)⩾0.$$

У трёхчлена $36x^2-6x+1$ дискриминант $D=36-4\cdot 36=-108<0$, а старший коэффициент положителен, поэтому он положителен при всех $x$. Разделим на него:

$$6x+1⩾0\iff x⩾-\frac{1}{6}.$$

Пересечём с ОДЗ. Так как $-\frac{1}{3}<-\frac{1}{6}<-\frac{1}{24}$, от промежутка $\left(-\frac{1}{3};-\frac{1}{24}\right)$ остаётся $\left[-\frac{1}{6};-\frac{1}{24}\right)$, а промежуток $(0;+\infty )$ сохраняется целиком.

Ответ: $\left[-\frac{1}{6};-\frac{1}{24}\right)\cup (0;+\infty )$.