ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №16 — логарифм с переменным основанием

Разбор — 2 балла

Найдём ОДЗ: аргумент логарифма положителен, $x^2-1>0$, то есть $(x-1)(x+1)>0$. Решим методом интервалов, точки выколоты, так как неравенство строгое:

ОДЗ: $x\in (-\infty ;-1)\cup (1;+\infty )$.

На ОДЗ по основному логарифмическому тождеству $a^{{\log }_{a}b}=b$ (при $b>0$) имеем $2^{{\log }_2\left(x^2-1\right)}=x^2-1$. Неравенство принимает вид

$$x^2-1+x^4-5⩽0\iff x^4+x^2-6⩽0.$$

Это биквадратное неравенство. Сделаем замену $t=x^2$. Условие ОДЗ $x^2>1$ означает, что $t>1$. Получаем

$$t^2+t-6⩽0.$$

Корни трёхчлена $t^2+t-6$ равны $-3$ и $2$ (по теореме Виета их сумма $-1$, произведение $-6$), поэтому

$$(t+3)(t-2)⩽0.$$

Решим методом интервалов, точки закрашены, так как неравенство нестрогое:

Итак, $-3⩽t⩽2$. С учётом условия $t>1$ остаётся промежуток:

Получаем $1<t⩽2$. Сделаем обратную замену:

$$1<x^2⩽2\iff \{\begin{array}{l}{x}^2>1,\\ x^2⩽2.\end{array}$$

Первое неравенство совпадает с ОДЗ: $x<-1$ или $x>1$. Второе запишем как $\left(x-\sqrt{2}\right)\left(x+\sqrt{2}\right)⩽0$:

То есть $-\sqrt{2}⩽x⩽\sqrt{2}$. Пересечём два условия, учитывая, что $\sqrt{2}>1$:

Все найденные $x$ удовлетворяют ОДЗ, так как условие $x^2>1$ уже учтено.

Ответ: $\left[-\sqrt{2};-1\right)\cup \left(1;\sqrt{2}\right]$.