ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №16 — показательные неравенства

Разбор — 2 балла

Обозначим $u=0,5^x=2^{-x}$, $u>0$. Выразим через $u$ слагаемые знаменателя по свойствам степени:

$$0,25^x={\left(0,5^2\right)}^x={\left(0,5^x\right)}^2=u^2;$$

$$0,5^{x-3,5}=0,5^x\cdot 0,5^{-3,5}=u\cdot 2^{3,5}=u\cdot 8\sqrt{2}.$$

Кроме того, $8\sqrt{2}=2\cdot 4\sqrt{2}$ и $32={\left(4\sqrt{2}\right)}^2$. Поэтому знаменатель свёртывается по формуле квадрата разности $a^2-2ab+b^2=(a-b{)}^2$:

$$u^2-2\cdot u\cdot 4\sqrt{2}+{\left(4\sqrt{2}\right)}^2={\left(u-4\sqrt{2}\right)}^2={\left(0,5^x-4\sqrt{2}\right)}^2.$$

Знаменатель неотрицателен при всех $x$ и обращается в ноль, когда $0,5^x=4\sqrt{2}$. Так как $4\sqrt{2}=2^{2,5}$ и $0,5^x=2^{-x}$, получаем $2^{-x}=2^{2,5}$, откуда $x=-2,5$ (показательная функция монотонна). Эту точку исключаем, при остальных $x$ знаменатель положителен.

Тогда дробь неположительна ровно тогда, когда неположителен числитель. Заметим, что $1,5^2=2,25$ и $1,5^3=2,25\cdot 1,5=3,375$:

$$\{\begin{array}{l}1,5^x⩽1,5^3,\\ x\ne -2,5.\end{array}$$

Функция $y=1,5^x$ возрастает, так как $1,5>1$, поэтому $x⩽3$. Точка $-2,5$ лежит в промежутке $(-\infty ;3]$, её выкалываем.

Ответ: $(-\infty ;-2,5)\cup (-2,5;3]$.