ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №16 — показательные неравенства

Разбор — 2 балла

Преобразуем знаменатель, записав все степени через основание $2$. По свойствам степени

$$0,25^x={\left(\frac{1}{4}\right)}^x=2^{-2x}={\left(2^{-x}\right)}^2;$$

$$0,5^{x-4,5}=2^{-(x-4,5)}=2^{-x}\cdot 2^{4,5}=2\cdot 2^{-x}\cdot 2^{3,5};$$

$$128=2^7={\left(2^{3,5}\right)}^2.$$

Получили три слагаемых формулы квадрата разности $a^2-2ab+b^2=(a-b{)}^2$ при $a=2^{-x}$, $b=2^{3,5}$:

$$0,25^x-0,5^{x-4,5}+128={\left(2^{-x}\right)}^2-2\cdot 2^{-x}\cdot 2^{3,5}+{\left(2^{3,5}\right)}^2={\left(2^{-x}-2^{3,5}\right)}^2.$$

В числителе представим $0,16$ как степень числа $2,5$:

$$0,16=\frac{4}{25}={\left(\frac{2}{5}\right)}^2={\left(\frac{5}{2}\right)}^{-2}=2,5^{-2}.$$

Неравенство принимает вид

$$\frac{2,5^x-2,5^{-2}}{{\left(2^{-x}-2^{3,5}\right)}^2}⩽0.$$

Знаменатель — квадрат, он неотрицателен. В ноль он обращается при $2^{-x}=2^{3,5}$, то есть при $-x=3,5$, $x=-3,5$ (показательная функция монотонна, поэтому равенство степеней равносильно равенству показателей). Эту точку исключаем, а при остальных $x$ знаменатель положителен, и дробь неположительна ровно тогда, когда неположителен числитель:

$$\{\begin{array}{l}2,5^x⩽2,5^{-2},\\ x\ne -3,5.\end{array}$$

Функция $y=2,5^x$ возрастает, так как $2,5>1$, поэтому знак неравенства между показателями сохраняется: $x⩽-2$.

Точка $-3,5$ лежит левее $-2$, то есть попадает в промежуток $(-\infty ;-2]$, и её нужно выколоть.

Ответ: $(-\infty ;-3,5)\cup (-3,5;-2]$.