ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №16 — логарифмические неравенства

Разбор — 2 балла

Сначала разложим на множители выражение под первым логарифмом, сгруппировав слагаемые:

$$x^3-2x^2-4x+8=x^2(x-2)-4(x-2)=(x-2)\left(x^2-4\right)=(x-2{)}^2(x+2).$$

Запишем ОДЗ — оба аргумента положительны:

$$\{\begin{array}{l}(x-2{)}^2(x+2)>0,\\ (x-2{)}^4>0.\end{array}$$

Второе условие означает $x\ne 2$. При $x\ne 2$ множитель $(x-2{)}^2$ положителен, поэтому первое условие сводится к $x+2>0$. Метод интервалов для первого условия (при переходе через $2$ знак не меняется — квадрат):

ОДЗ: $x\in (-2;2)\cup (2;+\infty )$.

Приведём правую часть к основанию $0,2$. Так как $0,04=0,2^2$ и $(x-2{)}^4=((x-2{)}^2{)}^2$, по свойству ${\log }_{a^k}{b}^k={\log }_{a}b$ (при $a>0$, $a\ne 1$, $b>0$) получаем

$${\log }_{0,04}(x-2{)}^4={\log }_{0,2^2}((x-2{)}^2{)}^2={\log }_{0,2}(x-2{)}^2.$$

Здесь $b=(x-2{)}^2>0$ на ОДЗ, поэтому свойство применимо без модуля. Неравенство принимает вид

$${\log }_{0,2}((x-2{)}^2(x+2))⩽{\log }_{0,2}(x-2{)}^2.$$

Основание $0,2$ лежит между $0$ и $1$, функция $y={\log }_{0,2}t$ убывает, поэтому на ОДЗ при переходе к аргументам знак неравенства меняется на противоположный:

$$(x-2{)}^2(x+2)⩾(x-2{)}^2\iff (x-2{)}^2(x+2-1)⩾0\iff (x-2{)}^2(x+1)⩾0.$$

Решим методом интервалов: точки $-1$ и $2$ закрашены, при переходе через $-1$ знак меняется, через $2$ — нет.

Получаем $x⩾-1$. Пересечём с ОДЗ: левый конец $-2$ остаётся левее $-1$, а точку $x=2$ нужно выколоть.

Ответ: $[-1;2)\cup (2;+\infty )$.