ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №16 — показательные неравенства

Разбор — 2 балла

Сделаем замену $t=3^x$, где $t>0$. Знаменатели не должны обращаться в ноль, поэтому $t\ne 27$ и $t\ne 9$. Получаем

$$\frac{4}{t-27}⩾\frac{1}{t-9}.$$

Умножать «крест-накрест» нельзя: знаки знаменателей заранее неизвестны. Поэтому перенесём всё в левую часть и приведём к общему знаменателю:

$$\frac{4}{t-27}-\frac{1}{t-9}⩾0\iff \frac{4(t-9)-(t-27)}{(t-27)(t-9)}⩾0.$$

Упростим числитель: $4t-36-t+27=3t-9=3(t-3)$. Положительный множитель $3$ на знак не влияет, поэтому

$$\frac{t-3}{(t-9)(t-27)}⩾0.$$

Решим методом интервалов. Неравенство нестрогое, поэтому нуль числителя $t=3$ закрашиваем, а нули знаменателя $t=9$ и $t=27$ выкалываем. При $t>27$ все множители положительны, дальше знаки чередуются.

Получаем $3⩽t<9$ или $t>27$. Оба промежутка лежат в области $t>0$, так что это условие ничего не отсекает.

Сделаем обратную замену. Так как $3>1$, функция $y=3^x$ возрастает, и неравенство между степенями тройки равносильно неравенству того же знака между показателями:

$$[\begin{array}{l}{3}^1⩽3^x<3^2,\\ 3^x>3^3\end{array}\iff [\begin{array}{l}1⩽x<2,\\ x>3.\end{array}$$

Ответ: $[1;2)\cup (3;+\infty )$.