ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №16 — показательные неравенства

Разбор — 2 балла

Ограничение: знаменатель не равен нулю, то есть $x\ne 0$.

Заметим, что $2^{3x}={\left(2^x\right)}^3$ и $2^{2x}={\left(2^x\right)}^2$. Обозначим $t=2^x$, тогда числитель равен

$$t^3-10t^2+17t-8.$$

Подберём корень среди делителей свободного члена. При $t=1$ получаем $1-10+17-8=0$, значит, по теореме Безу многочлен делится на $t-1$. Выделим этот множитель группировкой:

$$t^3-10t^2+17t-8=\left(t^3-t^2\right)-\left(9t^2-9t\right)+(8t-8)=(t-1)\left(t^2-9t+8\right).$$

Трёхчлен $t^2-9t+8$ имеет корни $1$ и $8$ (по теореме Виета их сумма $9$, произведение $8$), поэтому

$$t^3-10t^2+17t-8=(t-1)(t-1)(t-8)=(t-1{)}^2(t-8).$$

Вернёмся к переменной $x$:

$$\frac{{\left(2^x-1\right)}^2\left(2^x-8\right)}{x}⩽0.$$

Множитель ${\left(2^x-1\right)}^2$ неотрицателен и обращается в ноль только при $2^x=1$, то есть при $x=0$. Но эта точка исключена ограничением, поэтому при всех допустимых $x$ этот множитель строго положителен, и на него можно разделить, не меняя знака:

$$\frac{2^x-8}{x}⩽0,x\ne 0.$$

Применим рационализацию. Запишем $2^x-8=2^x-2^3$. Функция $y=2^x$ возрастает, поэтому $2^x-2^3$ положительно при $x>3$, равно нулю при $x=3$ и отрицательно при $x<3$, то есть имеет тот же знак, что и $x-3$. Заменим этот множитель:

$$\frac{x-3}{x}⩽0.$$

Решим методом интервалов: нуль числителя $3$ закрашиваем, нуль знаменателя $0$ выкалываем. Правее $3$ дробь положительна, дальше знаки чередуются.

Ответ: $(0;3]$.