ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №16 — показательные неравенства

Разбор — 2 балла

Сделаем замену $t=2^x$, где $t>0$. Тогда $4^x={\left(2^2\right)}^x={\left(2^x\right)}^2=t^2$ и $2\cdot 2^{x+1}=2\cdot 2\cdot 2^x=4t$. Знаменатели не должны обращаться в ноль, поэтому $t\ne 2$ и $t\ne 3$. Неравенство принимает вид

$$\frac{t^2-4t+6}{t-2}+\frac{4t-16}{t-3}⩽t+2.$$

Выделим в дробях целую часть. В первой дроби числитель дополним до полного квадрата: $t^2-4t+6=(t-2{)}^2+2$, поэтому

$$\frac{t^2-4t+6}{t-2}=\frac{(t-2{)}^2+2}{t-2}=t-2+\frac{2}{t-2}.$$

Во второй дроби выделим в числителе кратное знаменателю: $4t-16=4(t-3)-4$, поэтому

$$\frac{4t-16}{t-3}=\frac{4(t-3)-4}{t-3}=4-\frac{4}{t-3}.$$

Подставим в неравенство:

$$t-2+\frac{2}{t-2}+4-\frac{4}{t-3}⩽t+2.$$

Слева $t-2+4=t+2$, и эта сумма сокращается с правой частью:

$$\frac{2}{t-2}-\frac{4}{t-3}⩽0.$$

Разделим обе части на $2$ (знак не меняется) и приведём дроби к общему знаменателю:

$$\frac{(t-3)-2(t-2)}{(t-2)(t-3)}⩽0\iff \frac{1-t}{(t-2)(t-3)}⩽0.$$

Умножим обе части на $-1$, при этом знак неравенства меняется:

$$\frac{t-1}{(t-2)(t-3)}⩾0.$$

Решим методом интервалов. Нуль числителя $t=1$ закрашиваем, нули знаменателя $t=2$ и $t=3$ выкалываем. При $t>3$ все множители положительны, а так как все корни простые, дальше знаки чередуются.

Получаем $1⩽t<2$ или $t>3$. Оба промежутка лежат в области $t>0$, поэтому это условие ничего не отсекает.

Сделаем обратную замену. Функция $y=2^x$ возрастает, так как основание $2>1$, поэтому неравенство между степенями двойки равносильно неравенству того же знака между показателями:

$$[\begin{array}{l}1⩽2^x<2,\\ 2^x>3\end{array}\iff [\begin{array}{l}{2}^0⩽2^x<2^1,\\ 2^x>2^{{\log }_{2}3}\end{array}\iff [\begin{array}{l}0⩽x<1,\\ x>{\log }_{2}3.\end{array}$$

Так как ${\log }_{2}3>{\log }_{2}2=1$, второй промежуток лежит правее первого и с ним не пересекается.

Ответ: $[0;1)\cup ({\log }_{2}3;+\infty )$.