ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №16 — логарифмические неравенства

Разбор — 2 балла

Найдём ОДЗ: все три аргумента логарифмов должны быть положительными.

$$\{\begin{array}{l}18-9x>0,\\ x^2-6x+5>0,\\ x+2>0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x<2,\\ (x-1)(x-5)>0,\\ x>-2.\end{array}$$

Корни трёхчлена $x^2-6x+5$ равны $1$ и $5$ (по теореме Виета их сумма $6$, произведение $5$). Решим второе неравенство методом интервалов, точки выколоты, так как неравенство строгое:

Итак, $x<1$ или $x>5$. Вместе с условием $-2<x<2$ остаётся один промежуток:

ОДЗ: $x\in (-2;1)$.

На ОДЗ оба аргумента в правой части положительны, поэтому сумму логарифмов с одинаковым основанием можно заменить логарифмом произведения:

$${\log }_{\frac{1}{3}}(18-9x)<{\log }_{\frac{1}{3}}((x^2-6x+5)(x+2)).$$

Основание $\frac{1}{3}$ лежит между $0$ и $1$, поэтому функция $y={\log }_{\frac{1}{3}}t$ убывает: большему значению логарифма соответствует меньший аргумент. Значит, на ОДЗ неравенство равносильно неравенству аргументов с противоположным знаком (по методу рационализации это множитель $\frac{1}{3}-1<0$):

$$18-9x>(x^2-6x+5)(x+2).$$

Раскроем скобки в правой части:

$$(x^2-6x+5)(x+2)=x^3+2x^2-6x^2-12x+5x+10=x^3-4x^2-7x+10.$$

Перенесём всё в одну сторону:

$$18-9x>x^3-4x^2-7x+10\iff x^3-4x^2+2x-8<0.$$

Разложим левую часть группировкой:

$$x^3-4x^2+2x-8=x^2(x-4)+2(x-4)=(x-4)\left(x^2+2\right).$$

Множитель $x^2+2$ положителен при всех $x$, поэтому на него можно разделить, не меняя знака:

$$x-4<0\iff x<4.$$

Пересечём с ОДЗ: весь промежуток $(-2;1)$ лежит левее $4$, так что ОДЗ подходит целиком.

Ответ: $(-2;1)$.