ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №16 — логарифм с переменным основанием

Разбор — 2 балла

Решим каждое неравенство системы отдельно, а затем пересечём множества их решений.

1. Первое неравенство. Запишем ограничения: основание логарифма должно быть положительным и не равным единице, а аргумент — положительным:

$$\{\begin{array}{l}3-x>0,\\ 3-x\ne 1,\\ \frac{x+4}{(x-3{)}^2}>0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x<3,\\ x\ne 2,\\ x>-4,x\ne 3.\end{array}$$

Третье условие расшифровано так: знаменатель $(x-3{)}^2$ положителен при всех $x\ne 3$, поэтому дробь положительна ровно тогда, когда $x+4>0$ и $x\ne 3$.

Получаем ОДЗ: $x\in (-4;2)\cup (2;3)$.

Преобразуем левую часть на ОДЗ. Числитель $x+4$ и знаменатель $(x-3{)}^2$ здесь положительны, поэтому логарифм частного можно заменить разностью логарифмов. Кроме того, $(x-3{)}^2=(3-x{)}^2$, а основание $3-x$ положительно, значит,

$${\log }_{3-x}(x-3{)}^2={\log }_{3-x}(3-x{)}^2=2.$$

Неравенство принимает вид

$${\log }_{3-x}(x+4)-2⩾-2\iff {\log }_{3-x}(x+4)⩾0\iff {\log }_{3-x}(x+4)⩾{\log }_{3-x}1.$$

Основание переменное, поэтому направление сравнения аргументов зависит от того, больше оно единицы или меньше. Оба случая сразу учитывает метод рационализации: на ОДЗ знак разности ${\log }_{a}b-{\log }_{a}c$ совпадает со знаком произведения $(a-1)(b-c)$. Применим его при $a=3-x$, $b=x+4$, $c=1$:

$$(3-x-1)(x+4-1)⩾0\iff (2-x)(x+3)⩾0\iff (x-2)(x+3)⩽0.$$

Решим методом интервалов. Нули множителей $x=-3$ и $x=2$, неравенство нестрогое, поэтому точки закрашены. Правее $2$ оба множителя положительны, дальше знаки чередуются.

Получаем $x\in [-3;2]$. Пересечём с ОДЗ: точка $x=2$ в ОДЗ не входит, а промежуток $[-3;2)$ целиком лежит в $(-4;2)$.

Проверим себя разбором случаев. Если $-4<x<2$, то основание $3-x>1$, логарифм возрастает, и нужно $x+4⩾1$, то есть $x⩾-3$. Если $2<x<3$, то $0<3-x<1$, логарифм убывает, и нужно $x+4⩽1$, то есть $x⩽-3$, что противоречит $x>2$. Результат тот же.

Решение первого неравенства: $x\in [-3;2)$.

2. Второе неравенство. Ограничение: $x\ne 4$. Перенесём $3$ в левую часть и приведём всё к общему знаменателю $x-4$:

$$\frac{(x^3+6x^2-3)(x-4)+21x^2+3x-12}{x-4}⩽0.$$

Раскроем скобки в числителе:

$$(x^3+6x^2-3)(x-4)=x^4-4x^3+6x^3-24x^2-3x+12=x^4+2x^3-24x^2-3x+12.$$

Прибавим $21x^2+3x-12$: слагаемые $-3x$ и $3x$, $12$ и $-12$ взаимно уничтожаются, и остаётся $x^4+2x^3-3x^2$. Вынесем $x^2$ за скобки, а трёхчлен $x^2+2x-3$ разложим по корням $-3$ и $1$ (по теореме Виета их сумма $-2$, произведение $-3$):

$$x^4+2x^3-3x^2=x^2\left(x^2+2x-3\right)=x^2(x+3)(x-1).$$

Неравенство равносильно

$$\frac{x^2(x+3)(x-1)}{x-4}⩽0.$$

Решим его методом интервалов. Нули числителя $-3$, $0$, $1$ закрашиваем (неравенство нестрогое), нуль знаменателя $4$ выкалываем. Правее $4$ все множители положительны, поэтому там знак «$+$». При переходе через $4$, $1$ и $-3$ знак меняется, так как эти множители стоят в первой степени, а через $0$ не меняется: множитель $x^2$ — в чётной степени.

Решение второго неравенства: $x\in (-\infty ;-3]\cup \{0\}\cup [1;4)$. Точка $x=0$ входит отдельно: в ней выражение равно нулю.

3. Пересечение. Из промежутка $(-\infty ;-3]$ в множество $[-3;2)$ попадает только точка $-3$; точка $0$ лежит в $[-3;2)$; от промежутка $[1;4)$ остаётся $[1;2)$.

Ответ: $\{-3;0\}\cup [1;2)$.