ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №16 — логарифм с переменным основанием

Разбор — 2 балла

Найдём ОДЗ: аргумент логарифма положителен,

$$x^2-1>0\iff (x-1)(x+1)>0.$$

Решим методом интервалов, точки выколотые:

ОДЗ: $x\in (-\infty ;-1)\cup (1;+\infty )$.

На ОДЗ по основному логарифмическому тождеству $a^{{\log }_{a}b}=b$ (при $b>0$) имеем $5^{{\log }_5\left(x^2-1\right)}=x^2-1$. Неравенство принимает вид

$$x^2-1+x^4-5⩽0\iff x^4+x^2-6⩽0.$$

Сделаем замену $t=x^2$. На ОДЗ $x^2>1$, поэтому $t>1$. Получаем систему

$$\{\begin{array}{l}{t}^2+t-6⩽0,\\ t>1.\end{array}$$

Корни трёхчлена $t^2+t-6$ по теореме Виета: $t=2$ и $t=-3$ (сумма $-1$, произведение $-6$). Первое неравенство принимает вид $(t+3)(t-2)⩽0$:

Отсюда $-3⩽t⩽2$, а с учётом $t>1$ остаётся

$$1<t⩽2.$$

Сделаем обратную замену: $1<x^2⩽2$. Условие $x^2>1$ — это ОДЗ, она уже найдена. Неравенство $x^2⩽2$ равносильно $\left(x-\sqrt{2}\right)\left(x+\sqrt{2}\right)⩽0$:

Отсюда $-\sqrt{2}⩽x⩽\sqrt{2}$. Пересечём этот отрезок с ОДЗ:

$$x\in \left[-\sqrt{2};-1\right)\cup \left(1;\sqrt{2}\right].$$

Ответ: $\left[-\sqrt{2};-1\right)\cup \left(1;\sqrt{2}\right]$.