ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №16 — показательные неравенства

Разбор — 2 балла

Сделаем замену $t=2^{-x}$, $t>0$, и выразим через $t$ все степени:

$$2^{5+x}=\frac{2^5}{2^{-x}}=\frac{32}{t},2^{3-x}=2^3\cdot 2^{-x}=8t,4^{-x}={\left(2^{-x}\right)}^2=t^2,2^x=\frac{1}{t}.$$

ОДЗ: знаменатель не равен нулю. Он равен $8t-t^2=t(8-t)$ и при $t>0$ обращается в ноль только при $t=8$, то есть $2^{-x}=2^3$, $x=-3$. Итак, ОДЗ: $x\ne -3$.

Неравенство принимает вид

$$\frac{\frac{32}{t}-t}{8t-t^2}⩾\frac{1}{t}.$$

Умножим числитель и знаменатель первой дроби на $t>0$ и перенесём всё в левую часть, приведя к общему знаменателю $t^2(8-t)$:

$$\frac{32-t^2}{t^2(8-t)}-\frac{1}{t}⩾0\iff \frac{32-t^2-t(8-t)}{t^2(8-t)}⩾0\iff \frac{32-8t}{t^2(8-t)}⩾0.$$

Вынесем в числителе множитель $8$, а затем умножим и числитель, и знаменатель на $-1$ (значение дроби не изменится):

$$\frac{8(4-t)}{t^2(8-t)}⩾0\iff \frac{t-4}{t^2(t-8)}⩾0.$$

Решим методом интервалов. Нуль числителя $t=4$ закрашиваем, нули знаменателя $t=0$ и $t=8$ выкалываем. Множитель $t^2$ при переходе через $0$ знак не меняет.

$$t\in (-\infty ;0)\cup (0;4]\cup (8;+\infty ).$$

С учётом $t>0$ остаётся $t\in (0;4]\cup (8;+\infty )$. Сделаем обратную замену:

$$[\begin{array}{l}0<2^{-x}⩽2^2,\\ 2^{-x}>2^3.\end{array}$$

Неравенство $2^{-x}>0$ верно при всех $x$. Основание $2>1$, показательная функция возрастает, поэтому показатели сравниваем с сохранением знака:

$$[\begin{array}{l}-x⩽2,\\ -x>3\end{array}\iff [\begin{array}{l}x⩾-2,\\ x<-3.\end{array}$$

Точка $x=-3$, исключённая ОДЗ, в найденное множество не входит.

Ответ: $(-\infty ;-3)\cup [-2;+\infty )$.