ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №16 — логарифмические неравенства

Разбор — 2 балла

Найдём ОДЗ:

$$\{\begin{array}{l}2x^2-17x+35>0,\\ x+6>0,\\ {\log }_7(x+6)\ne 0.\end{array}$$

Корни трёхчлена $2x^2-17x+35$ найдём через дискриминант: $D=17^2-4\cdot 2\cdot 35=289-280=9$, $x=\frac{17\pm 3}{4}$, то есть $x=3,5$ и $x=5$. Поэтому $2x^2-17x+35=2(x-3,5)(x-5)$, и первое неравенство выполняется при $x<3,5$ или $x>5$:

Второе условие даёт $x>-6$. Третье: $x+6\ne 1$, то есть $x\ne -5$. Итак, ОДЗ:

$$x\in (-6;-5)\cup (-5;3,5)\cup (5;+\infty ).$$

Запишем числитель и знаменатель как разности логарифмов с одинаковыми основаниями:

$$\frac{{\log }_2\left(2x^2-17x+35\right)-{\log }_{2}2}{{\log }_7(x+6)-{\log }_{7}1}⩽0.$$

Применим метод рационализации: на ОДЗ разность ${\log }_{a}f-{\log }_{a}g$ имеет тот же знак, что и $(a-1)(f-g)$. Основания $2$ и $7$ больше единицы, множители $a-1$ положительны, поэтому знак каждой разности совпадает со знаком разности аргументов:

$$\frac{2x^2-17x+35-2}{x+6-1}⩽0\iff \frac{2x^2-17x+33}{x+5}⩽0.$$

Найдём корни числителя: $D=289-4\cdot 2\cdot 33=289-264=25$, $x=\frac{17\pm 5}{4}$, то есть $x=3$ и $x=5,5$. Поэтому

$$\frac{2(x-3)(x-5,5)}{x+5}⩽0.$$

Решим методом интервалов. Нули числителя $x=3$ и $x=5,5$ закрашиваем (неравенство нестрогое), нуль знаменателя $x=-5$ выкалываем.

$$x\in (-\infty ;-5)\cup [3;5,5].$$

Пересечём с ОДЗ. От луча $(-\infty ;-5)$ остаётся интервал $(-6;-5)$, от отрезка $[3;5,5]$ — промежутки $[3;3,5)$ и $(5;5,5]$:

$$x\in (-6;-5)\cup [3;3,5)\cup (5;5,5].$$

Ответ: $(-6;-5)\cup [3;3,5)\cup (5;5,5]$.