ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №16 — показательные неравенства

Разбор — 2 балла

ОДЗ: подкоренное выражение неотрицательно, $4-x⩾0$, то есть $x⩽4$, и знаменатель не равен нулю — это условие учтём по ходу решения.

Выразим первое слагаемое знаменателя через $2^{0,5x^2-4,5}$. Так как $x^2-5=2\left(0,5x^2-4,5\right)+4$, по свойствам степеней

$$2^{x^2-5}=2^4\cdot {\left(2^{0,5x^2-4,5}\right)}^2=16{\left(2^{0,5x^2-4,5}\right)}^2.$$

Сделаем замену $t=2^{0,5x^2-4,5}$, $t>0$. Знаменатель равен $16t^2-17t+1$. Один корень этого трёхчлена $t=1$ (сумма коэффициентов $16-17+1=0$), второй по теореме Виета равен произведению корней $\frac{1}{16}$. Поэтому

$$16t^2-17t+1=(16t-1)(t-1),$$

и неравенство принимает вид

$$\frac{\sqrt{4-x}}{(16t-1)(t-1)}⩽0.$$

Числитель $\sqrt{4-x}$ неотрицателен. Рассмотрим два случая.

1. $\sqrt{4-x}=0$, то есть $x=4$. Дробь равна нулю, если знаменатель при этом не равен нулю. При $x=4$ имеем $t=2^{8-4,5}=2^{3,5}>1$, поэтому $16t-1>0$ и $t-1>0$, знаменатель положителен. Значит, $x=4$ — решение.

2. $\sqrt{4-x}>0$, то есть $x<4$. Числитель положителен, поэтому дробь неположительна ровно тогда, когда знаменатель отрицателен (нулю он равняться не может):

$$(16t-1)(t-1)<0.$$

Решим методом интервалов, неравенство строгое — точки выколотые.

$$\frac{1}{16}<t<1.$$

Сделаем обратную замену, записав $\frac{1}{16}=2^{-4}$ и $1=2^0$:

$$2^{-4}<2^{0,5x^2-4,5}<2^0.$$

Основание $2>1$, показательная функция возрастает, поэтому показатели сравниваем с сохранением знаков:

$$-4<0,5x^2-4,5<0\iff 0,5<0,5x^2<4,5\iff 1<x^2<9.$$

Это двойное неравенство равносильно системе

$$\{\begin{array}{l}{x}^2>1,\\ x^2<9.\end{array}$$

Первое неравенство: $(x-1)(x+1)>0$.

Второе неравенство: $(x-3)(x+3)<0$.

Пересекая, получаем $x\in (-3;-1)\cup (1;3)$. Все эти значения меньше $4$, то есть удовлетворяют условию случая.

Объединим оба случая:

Ответ: $(-3;-1)\cup (1;3)\cup \{4\}$.