ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №16 — логарифмические неравенства

Разбор — 2 балла

Приведём аргументы логарифмов к общему знаменателю:

$$5+\frac{20}{x-5}=\frac{5x-25+20}{x-5}=\frac{5(x-1)}{x-5},25-\frac{100}{x-1}=\frac{25x-25-100}{x-1}=\frac{25(x-5)}{x-1}.$$

Найдём ОДЗ: оба аргумента должны быть положительны.

$$\{\begin{array}{l}\frac{5(x-1)}{x-5}>0,\\ \frac{25(x-5)}{x-1}>0\end{array}\iff \frac{x-1}{x-5}>0.$$

Оба условия сводятся к одному: положительные множители $5$ и $25$ на знак не влияют, а дроби $\frac{x-1}{x-5}$ и $\frac{x-5}{x-1}$ взаимно обратны и потому одного знака. Решим методом интервалов; неравенство строгое, точки выколотые.

ОДЗ: $x\in (-\infty ;1)\cup (5;+\infty )$.

Перейдём к основанию $5$. Так как $0,2=5^{-1}$, по свойству ${\log }_{a^k}b=\frac{1}{k}{\log }_{a}b$

$${\log }_{0,2}y=-{\log }_{5}y.$$

Поэтому правая часть равна $9+2{\log }_5\frac{25(x-5)}{x-1}$.

Сделаем замену $u={\log }_5\frac{x-1}{x-5}$. На ОДЗ по формулам логарифма произведения и частного

$${\log }_5\frac{5(x-1)}{x-5}={\log }_{5}5+{\log }_5\frac{x-1}{x-5}=1+u,$$

$${\log }_5\frac{25(x-5)}{x-1}={\log }_{5}25+{\log }_5\frac{x-5}{x-1}=2-u.$$

Во второй строке мы учли, что ${\log }_5\frac{x-5}{x-1}=-{\log }_5\frac{x-1}{x-5}$: дроби взаимно обратны. Неравенство принимает вид

$$3(1+u)⩽9+2(2-u)\iff 3+3u⩽13-2u\iff 5u⩽10\iff u⩽2.$$

Сделаем обратную замену: ${\log }_5\frac{x-1}{x-5}⩽2={\log }_{5}25$. Основание $5>1$, логарифм возрастает, поэтому на ОДЗ знак сохраняется:

$$\frac{x-1}{x-5}⩽25.$$

Перенесём $25$ в левую часть и приведём к общему знаменателю:

$$\frac{x-1-25(x-5)}{x-5}⩽0\iff \frac{124-24x}{x-5}⩽0\iff \frac{6x-31}{x-5}⩾0.$$

В последнем переходе разделили числитель на $-4<0$, поэтому знак неравенства поменялся. Решим методом интервалов: нуль числителя $x=\frac{31}{6}$ закрашиваем, нуль знаменателя $x=5$ выкалываем.

$$x\in (-\infty ;5)\cup \left[\frac{31}{6};+\infty \right).$$

Пересечём с ОДЗ $x\in (-\infty ;1)\cup (5;+\infty )$. Так как $\frac{31}{6}=5\frac{1}{6}>5$, получаем

$$x\in (-\infty ;1)\cup \left[\frac{31}{6};+\infty \right).$$

Ответ: $(-\infty ;1)\cup \left[\frac{31}{6};+\infty \right)$.