ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №16 — показательные неравенства

Разбор — 2 балла

Преобразуем знаменатель. Так как $4^x={\left(2^x\right)}^2$, $2^{x+3,5}=2^x\cdot 2^{3,5}=2\cdot 2^x\cdot 2^{2,5}$ и $32=2^5={\left(2^{2,5}\right)}^2$, по формуле квадрата разности

$$4^x-2^{x+3,5}+32={\left(2^x\right)}^2-2\cdot 2^x\cdot 2^{2,5}+{\left(2^{2,5}\right)}^2={\left(2^x-2^{2,5}\right)}^2.$$

ОДЗ: знаменатель не равен нулю, $2^x\ne 2^{2,5}$, то есть $x\ne 2,5$. На ОДЗ знаменатель — квадрат ненулевого числа, поэтому он строго положителен.

Запишем $100=10^2=0,1^{-2}$. Неравенство принимает вид

$$\frac{0,1^x-0,1^{-2}}{{\left(2^x-2^{2,5}\right)}^2}⩽0.$$

Применим метод рационализации. Основание $0,1<1$, функция $y=0,1^x$ убывает, поэтому разность $0,1^x-0,1^{-2}$ имеет тот же знак, что и $(0,1-1)(x+2)$. Основание $2>1$, поэтому разность $2^x-2^{2,5}$ имеет тот же знак, что и $x-2,5$, а её квадрат положителен там же, где $(x-2,5{)}^2$, и обращается в ноль в той же точке. Получаем

$$\frac{-0,9(x+2)}{(x-2,5{)}^2}⩽0\iff \frac{x+2}{(x-2,5{)}^2}⩾0.$$

Здесь мы разделили обе части на $-0,9<0$, поэтому знак неравенства поменялся.

Решим методом интервалов. Нуль числителя $x=-2$ закрашиваем, нуль знаменателя $x=2,5$ выкалываем. Знаменатель стоит в квадрате, поэтому при переходе через $2,5$ знак не меняется.

Получаем $x\in [-2;2,5)\cup (2,5;+\infty )$, точка $x=2,5$, исключённая ОДЗ, уже выколота.

Ответ: $[-2;2,5)\cup (2,5;+\infty )$.