ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №16 — показательные неравенства

Разбор — 2 балла

ОДЗ — все действительные $x$.

Заметим, что $x^2=|x{|}^2$. Сделаем замену $t=|x|$, $t⩾0$:

$$4^{9t-4t^2}\cdot 9^{4t}⩾1.$$

Чтобы перемножить степени, приведём их к одному основанию. По основному логарифмическому тождеству $9=4^{{\log }_{4}9}$, поэтому

$$9^{4t}={\left(4^{{\log }_{4}9}\right)}^{4t}=4^{4t{\log }_{4}9}.$$

При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются, а единицу запишем как $4^0$:

$$4^{9t-4t^2+4t{\log }_{4}9}⩾4^0.$$

Основание $4>1$, показательная функция возрастает, поэтому показатели сравниваем с сохранением знака:

$$9t-4t^2+4t{\log }_{4}9⩾0\iff t\left(9+4{\log }_{4}9-4t\right)⩾0.$$

Упростим логарифм по свойству ${\log }_{a^k}{b}^m=\frac{m}{k}{\log }_{a}b$:

$${\log }_{4}9={\log }_{2^2}{3}^2={\log }_{2}3.$$

Обозначим

$$t_0=\frac{9+4{\log }_{2}3}{4}=\frac{9}{4}+{\log }_{2}3.$$

Тогда $9+4{\log }_{2}3-4t=-4(t-t_0)$. Разделим неравенство на $-4<0$, знак поменяется:

$$t(t-t_0)⩽0.$$

Так как ${\log }_{2}3>0$, то $t_0>0$. Решим методом интервалов, нули $t=0$ и $t=t_0$ закрашиваем:

$$0⩽t⩽\frac{9}{4}+{\log }_{2}3.$$

Условие $t⩾0$ при этом выполнено. Сделаем обратную замену:

$$|x|⩽\frac{9}{4}+{\log }_{2}3\iff -\frac{9}{4}-{\log }_{2}3⩽x⩽\frac{9}{4}+{\log }_{2}3.$$

Ответ: $\left[-\frac{9}{4}-{\log }_{2}3;\frac{9}{4}+{\log }_{2}3\right]$.