ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №16 — логарифм с переменным основанием

Разбор — 2 балла

Найдём ОДЗ. Аргумент логарифма ${\log }_{2}x$ положителен: $x>0$. Аргумент $0,04\cdot 5^x$ положителен при любом $x$. Знаменатель не равен нулю:

$${\log }_{0,25}\left(0,04\cdot 5^x\right)\ne 0\iff 0,04\cdot 5^x\ne 1\iff 5^x\ne 25\iff x\ne 2.$$

Здесь мы учли, что $0,04=\frac{1}{25}$. Итак, ОДЗ: $x>0$, $x\ne 2$.

Числитель — квадратный трёхчлен относительно ${\log }_{2}x$. Его корни по теореме Виета равны $1$ и $2$ (сумма $3$, произведение $2$), поэтому

$${\log }_2^{2}x-3{\log }_{2}x+2=\left({\log }_{2}x-1\right)\left({\log }_{2}x-2\right)=\left({\log }_{2}x-{\log }_{2}2\right)\left({\log }_{2}x-{\log }_{2}4\right).$$

Знаменатель тоже запишем как разность логарифмов: ${\log }_{0,25}\left(0,04\cdot 5^x\right)-{\log }_{0,25}1$. Неравенство принимает вид

$$\frac{\left({\log }_{2}x-{\log }_{2}2\right)\left({\log }_{2}x-{\log }_{2}4\right)}{{\log }_{0,25}\left(0,04\cdot 5^x\right)-{\log }_{0,25}1}⩾0.$$

Применим метод рационализации: на ОДЗ разность ${\log }_{a}f-{\log }_{a}g$ имеет тот же знак, что и $(a-1)(f-g)$. При $a>1$ логарифм возрастает, и знак разности совпадает со знаком $f-g$; при $0<a<1$ логарифм убывает, и знак противоположный — это и учитывает множитель $a-1$. Заменим каждую разность:

$$\frac{(2-1)(x-2)\cdot (2-1)(x-4)}{(0,25-1)\left(0,04\cdot 5^x-1\right)}⩾0.$$

Множитель $0,25-1=-0,75$ в знаменателе отрицателен. Отбросив его, меняем знак неравенства на противоположный:

$$\frac{(x-2)(x-4)}{0,04\cdot 5^x-1}⩽0.$$

Преобразуем знаменатель: $0,04\cdot 5^x-1=\frac{5^x-5^2}{25}$. Положительный множитель $\frac{1}{25}$ на знак не влияет. Разность $5^x-5^2$ при основании $5>1$ по методу рационализации имеет тот же знак, что и $(5-1)(x-2)$, то есть что и $x-2$. Получаем

$$\frac{(x-2)(x-4)}{x-2}⩽0.$$

Решим методом интервалов. Точку $x=2$ выкалываем — это нуль знаменателя. Нуль числителя $x=4$ закрашиваем. При $x\ne 2$ дробь равна $x-4$, поэтому левее $4$ она отрицательна, правее — положительна, а через точку $2$ знак не меняется.

$$x\in (-\infty ;2)\cup (2;4].$$

Пересечём с ОДЗ $x>0$, $x\ne 2$:

Ответ: $(0;2)\cup (2;4]$.