ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №16 — показательные неравенства

Разбор — 2 балла

ОДЗ — все действительные $x$: показательные функции определены везде, а знаменатель $9^{x-1}$ всегда положителен.

Запишем все степени через $3^x$:

$$9^x=3^{2x},3^{1-x}=\frac{3}{3^x},\frac{1}{9^{x-1}}=\frac{9}{9^x}=\frac{9}{3^{2x}}.$$

Перенесём $6$ влево и сгруппируем слагаемые:

$$\left(3^{2x}+\frac{9}{3^{2x}}\right)-\left(3^x+\frac{3}{3^x}\right)-6⩽0.$$

Обозначим $t=3^x+\frac{3}{3^x}$. По формуле квадрата суммы

$$t^2=3^{2x}+2\cdot 3^x\cdot \frac{3}{3^x}+\frac{9}{3^{2x}}=3^{2x}+\frac{9}{3^{2x}}+6,$$

значит, первая скобка равна $t^2-6$. Неравенство принимает вид

$$t^2-6-t-6⩽0\iff t^2-t-12⩽0\iff (t-4)(t+3)⩽0.$$

Корни $t=4$ и $t=-3$ нашли по теореме Виета (сумма $1$, произведение $-12$). Решим методом интервалов, нули закрашиваем:

$$-3⩽t⩽4.$$

Сделаем обратную замену. Слагаемые $3^x$ и $\frac{3}{3^x}$ положительны, поэтому $t>0>-3$, и левое неравенство выполняется при всех $x$. Остаётся

$$3^x+\frac{3}{3^x}⩽4.$$

Умножим обе части на $3^x>0$, знак неравенства сохранится:

$$3^{2x}-4\cdot 3^x+3⩽0.$$

Сделаем замену $u=3^x$, $u>0$. Получаем $u^2-4u+3⩽0$, то есть $(u-1)(u-3)⩽0$ (корни $1$ и $3$ по теореме Виета).

Получаем $1⩽u⩽3$ — все эти значения положительны. Обратная замена: $3^0⩽3^x⩽3^1$. Основание $3>1$, показательная функция возрастает, поэтому знаки сохраняются:

$$0⩽x⩽1.$$

Ответ: $[0;1]$.