ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №16 — логарифм с переменным основанием

Разбор — 2 балла

Найдём ОДЗ. Логарифм ${\log }_{2}x$ определён при $x>0$, логарифм ${\log }_{x}2$ — при $x>0$, $x\ne 1$. Знаменатели не равны нулю:

$${\log }_{2}x-6\ne 0,{\log }_2^{2}x-6{\log }_{2}x={\log }_{2}x\cdot \left({\log }_{2}x-6\right)\ne 0.$$

Отсюда ${\log }_{2}x\ne 0$ и ${\log }_{2}x\ne 6$, то есть $x\ne 1$ и $x\ne 2^6=64$. Итак, ОДЗ: $x>0$, $x\ne 1$, $x\ne 64$.

На ОДЗ по формуле перехода к новому основанию ${\log }_{x}2=\frac{1}{{\log }_{2}x}$. Сделаем замену $t={\log }_{2}x$, где $t\ne 0$, $t\ne 6$:

$$\frac{t}{t-6}⩾\frac{10}{t}+\frac{35}{t(t-6)}.$$

Перенесём всё в левую часть и приведём к общему знаменателю $t(t-6)$:

$$\frac{t\cdot t-10(t-6)-35}{t(t-6)}⩾0\iff \frac{t^2-10t+25}{t(t-6)}⩾0\iff \frac{(t-5{)}^2}{t(t-6)}⩾0.$$

Числитель мы свернули по формуле квадрата разности. Решим неравенство методом интервалов. Нуль числителя $t=5$ закрашиваем (неравенство нестрогое); множитель стоит в квадрате, поэтому при переходе через $t=5$ знак не меняется. Нули знаменателя $t=0$ и $t=6$ выкалываем.

$$t\in (-\infty ;0)\cup \{5\}\cup (6;+\infty ).$$

Важно не потерять точку $t=5$: в ней дробь равна нулю, а неравенство нестрогое.

Сделаем обратную замену:

$$[\begin{array}{l}{\log }_{2}x<0,\\ {\log }_{2}x=5,\\ {\log }_{2}x>6\end{array}\iff [\begin{array}{l}{\log }_{2}x<{\log }_{2}1,\\ {\log }_{2}x={\log }_{2}32,\\ {\log }_{2}x>{\log }_{2}64.\end{array}$$

Основание $2>1$, функция $y={\log }_{2}x$ возрастает, поэтому знаки сохраняются; учитываем и условие $x>0$:

$$[\begin{array}{l}0<x<1,\\ x=32,\\ x>64.\end{array}$$

Все найденные значения удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $(0;1)\cup \{32\}\cup (64;+\infty )$.