ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №16 — логарифмические неравенства

Разбор — 2 балла

Найдём ОДЗ. Внутренний логарифм ${\log }_{3}x$ определён при $x>0$, внешний логарифм ${\log }_3({\log }_{3}x)$ — при ${\log }_{3}x>0$, то есть при $x>1$. Кроме того, знаменатель ${\log }_3(3x)$ не должен равняться нулю: $3x\ne 1$, $x\ne \frac{1}{3}$ — при $x>1$ это выполнено. Итак, ОДЗ: $x>1$.

На ОДЗ по основному логарифмическому тождеству $a^{{\log }_{a}b}=b$ (при $b>0$)

$$3^{{\log }_3({\log }_{3}x)}={\log }_{3}x,$$

а по формуле логарифма произведения

$${\log }_3(3x)={\log }_{3}3+{\log }_{3}x=1+{\log }_{3}x.$$

Сделаем замену $t={\log }_{3}x$. Из ОДЗ $x>1$ следует $t>0$. Получаем систему

$$\{\begin{array}{l}t+\frac{3}{t+1}⩽3,\\ t>0.\end{array}$$

Решим первое неравенство. Перенесём всё в левую часть и приведём к общему знаменателю:

$$\frac{t(t+1)+3-3(t+1)}{t+1}⩽0\iff \frac{t^2+t+3-3t-3}{t+1}⩽0\iff \frac{t(t-2)}{t+1}⩽0.$$

Решим методом интервалов. Нули числителя $t=0$ и $t=2$ закрашиваем (неравенство нестрогое), нуль знаменателя $t=-1$ выкалываем.

$$t\in (-\infty ;-1)\cup [0;2].$$

С учётом второго условия $t>0$ остаётся $0<t⩽2$.

Сделаем обратную замену: $0<{\log }_{3}x⩽2$, то есть ${\log }_{3}1<{\log }_{3}x⩽{\log }_{3}9$. Основание $3>1$, логарифм возрастает, поэтому знаки сохраняются:

$$1<x⩽9.$$

Все эти значения входят в ОДЗ.

Ответ: $(1;9]$.