ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №16 — рациональные неравенства

Разбор — 2 балла

ОДЗ: знаменатели показателей не равны нулю, то есть $x\ne 3$. Других ограничений нет — показательная функция определена при любом показателе.

Выразим все степени через одну. Заметим, что

$$\frac{2x}{x-3}=2\cdot \frac{x}{x-3},\frac{2x-3}{x-3}=\frac{x+(x-3)}{x-3}=\frac{x}{x-3}+1.$$

Обозначим $a=3^{\frac{x}{x-3}}$, $a>0$. По свойствам степеней ${\left(3^u\right)}^2=3^{2u}$ и $3^{u+1}=3^u\cdot 3$:

$$3^{\frac{2x}{x-3}}={\left(3^{\frac{x}{x-3}}\right)}^2=a^2,3^{\frac{2x-3}{x-3}}=3^{\frac{x}{x-3}}\cdot 3=3a.$$

Неравенство принимает вид

$$a^2-3a⩾a-3\iff a^2-3a-a+3⩾0.$$

Разложим левую часть на множители группировкой:

$$a(a-3)-(a-3)⩾0\iff (a-3)(a-1)⩾0.$$

Вернёмся к переменной $x$, записав $3=3^1$ и $1=3^0$:

$$\left(3^{\frac{x}{x-3}}-3^1\right)\left(3^{\frac{x}{x-3}}-3^0\right)⩾0.$$

Применим метод рационализации. При основании $3>1$ показательная функция возрастает, поэтому разность $3^u-3^v$ имеет тот же знак, что и разность показателей $u-v$. Заменив каждую скобку на разность показателей, получим равносильное на ОДЗ неравенство

$$\left(\frac{x}{x-3}-1\right)\left(\frac{x}{x-3}-0\right)⩾0.$$

Упростим первую скобку:

$$\frac{x}{x-3}-1=\frac{x-(x-3)}{x-3}=\frac{3}{x-3}.$$

Тогда

$$\frac{3}{x-3}\cdot \frac{x}{x-3}⩾0\iff \frac{3x}{(x-3{)}^2}⩾0.$$

Решим методом интервалов. Нуль числителя $x=0$ закрашиваем, нуль знаменателя $x=3$ выкалываем. Знаменатель стоит в квадрате, поэтому при переходе через $x=3$ знак не меняется.

Получаем $x\in [0;3)\cup (3;+\infty )$. Точка $x=3$ уже исключена, так что все эти значения входят в ОДЗ.

Ответ: $[0;3)\cup (3;+\infty )$.